引申
②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝ {x | x满足条件p}，B＝ {x | x满足条件q}
1) A B, 则p是q充分条件， q是p必要条件 .
2) A B, 则p是q充分不必要条件， q是p必要不充分条件 .
3) A B, 则p是q的充要条件 .
4) A B且B A，则p是q既不充分也不必要条件 .
证明:
A
C
O
P
D B
常用正面叙述词及它的否定.
至多有 至少有 正面词 语 至多有 n个 ( n ) 至少有 某个 某些 任意的 所有的
一个
一个
( 1)
( 1)
否定词 语
至少有 一个也
n+1个 没有 两个 ( n 1) ( 2) ( 0)
复 习
1、命题：可以判断真假的陈述句， 可写成：若p则q. 2、四种命题及相互关系：
常用正面叙述词及它的否定.
正面词 语
等于 ()
( )
小于
()
大于
是
都是
否定词 语
不等于 不小于 不大于 ( ) () ( )
不是 不都是
用反证法证明：圆的两条 不是直径 的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD交于P，且AB、CD 不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
必要性(q p) 1 1 yx 若 , 则有： 0,即xy( y x) 0. x y xy x y y x 0 xy 0.
例2、已知ab 0, 求证：a b 1的充要条件是 a 3 b3 ab a 2 b 2 0.
例3、求3x 10x k 0有两个同号且不相等
2
( 2)若p q, 但 是 q p, 则 称 p为q的 必 要 不 充 分 条 如 : p：ab 0, q : a 0;
例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1)" x 0, y 0" 是 " xy 0"的 （充分不必要条件） 2） " a N "是 " a Z "的 （充分不必要条件）
例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m 的 一个充分条件是（ D ） . A. ， l , m l B. m, , C. , , m D.n , n , m
例6、已知、为锐角，若p : sin sin( ), q :
p : x A或x B; q : x A B
⑹ p : x 0; q : x 2
必要不充分条件
必要不充分条件
2 p : m 2 ; q : 方程 x x m 0无实根 充分不必要条件 ⑺
2.充要条件的证明
1 1 例1、已知x、y是非零实数，且 x y, 求证： x y 的充要条件是 xy 0.
（既不充分也不必要条件）
例3、已知、 是不同的两个平面，直 线a , 直线a , 命题p : a与b无公共点； 命题q : // , 则 p 是 q的 （ C.充要条件
B）
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件
例4、设命题甲: 0 x 5, 命题乙: x 2 3, 那么甲是乙的（ A.充分不必要条件 C.充要条件 . A） B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件
注意：分清p与q. p : xy 0
证明：充分性 ( p q)
1 1 q: x y
x 0 x 0 若xy 0, 则 或 y 0 y 0
1 1 x y 当x 0, y 0时，有： . x y
1 1 当x 0, y 0时，有： . x y
2
两三角形全等 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么
(1) p : a Q; q : a R. (3) p : xy 0; q : x 0. (4) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p : 四边形的对角线平分且相等; q : 四边形是平行四边形. (7) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等.
2、判断p是q的什么条件？ 2 p : x 3 ; q : x 9 充分不必要条件 ⑴
2 p : x 9; q : x 3 ⑵
必要不充分条件
⑶ p : xy 0; q : x 0且y 0 必要不充分条件
⑷ p : x A; q : x A B
必要不充分条件
⑸ 设集合 A x x 2 B x x 3

2 A.充分不必要条件 C.充要条件
, 则p是q的 （
B） .
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
例7、若p是r的充分不必要条件，r是q的必要 条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件. 则： 必要不充分条件 1）s是p的什么条件？ 2）r是q的什么条件？ 充要条件
练：1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、
课堂小结
（1）充分条件、必要条件、充分必要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q 和 p q 是否能成立。 （3）判别技巧： ① 可先简化命题； ② 否定一个命题只要举出一个反例即可； ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
原命题 若 p则 q 互 否 互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆 逆命题 若 q则 p 互 否
否命题 q p 则 若
逆否命题 q 则 若 p
3、若命题“若p则q”为真,记作p q p). q(或
4、如果命题“若p则q”为假，则记作p q.
判断下列命题是真命题还是假命题：
条件.
(2) p : x 2 0; q : ( x 3)( x 2) 0.
2. 充分必要条件 如果p是q的充分条件， p又是q的必 要条件，则称 p是q的充分必要条件，
简称充要条件，记作 p q ．
补 充 (： 1)若p q, 但 是 q p, 则 称 p为q的 充 分 不 必 要 条 件 如 : p：x 1, q : x 4 x 3 0;
A
C
O
P
D B
分析：假设弦AB、CD被P平分，连 接OP后，可以推出AB、CD都与OP 垂直，则出现矛盾.
假设弦AB、CD被P平分，由于P 点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理 的推论，有 OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾. 所以，弦AB、CD不被P平分.
“充要”、“既不充分也不必要”填空： 必要不充分 (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件 . 充要 (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿ 条件. 充分不必要 (3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件 . (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行 既不充分也不必要 四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件 .
3） " x 1 0" 是 " x 1 0"的
2
（必要不充分条件）
4）同旁内角互补 " "是 " 两直线平行 "的 （充要条件） 5)" x 5" 是 " x 3"的
（必要不充分条件） （充要条件） 6)" a b " 是 " a c b c "的
7）已知ABC不是直角三角形， "A<B" 是 "tan A tan B "的
；真 （2）若 ；假 （3）全等三角形的面积相等； 真 假 （4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（1）若
x 1，则 x 1 2 x y x 2 y，则
2
预习问题：
什么是充分条件？ 什么是必要条件？
x 1 x 1 2 x 1是x 1的充分条件
2
x 1是x 1的必要条件
练习： 1. 若p : x y , q : x y或x y, 则q是p的什么条件.
2 2
2. 若x, y R, p : ( x 3) 2 ( y 4) 2 0, q : ( x 3)( y 4) 0, 则p是q的什么条件 . 3.不等式 2 x＋5 7成立的一个必要不充分 条件是（） A. x 1 B. x －6 C.x 1或x －6 D.x 0或x 0
2
实根的充要条件 .
25 0k . 3
引申

①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件 q是p的必要条件. ㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件. (三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件 （四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必 要条件.