第十二章 光的衍射1． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单缝上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。

解：（1）零强度点有sin (1,2, 3....................)a n n θλ==±±± ∴中央亮纹的角半宽度为0aλθ∆=∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510r f f m a λθ---⨯⨯⨯=⋅∆===⨯ （2）第一亮纹，有1sin 4.493a παθλ=⋅= 9134.493 4.493500100.02863.140.02510rad a λθπ--⨯⨯∴===⨯⨯ 21150100.02860.014314.3r f m mm θ-∴=⋅=⨯⨯==同理224.6r mm =（3）衍射光强20sin I I αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中sin a παθλ= 当sin a n θλ=时为暗纹，tg αα=为亮纹 ∴对应 级数 α 0II0 0 1 1 2 . . . . . . . . .2． 平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sin sin )](sin sin )a i I I a i πθλπθλ⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪-⎩⎭式中，0I 是中央亮纹中心强度；a 是缝宽；θ是衍射角，i 是入射角（见图12-50） （2）中央亮纹的角半宽度为cos a iλθ∆=证明：(1))即可(2)令(sin sin ai πθπλ==± ∴对于中央亮斑 sin sin i aλθ-=3． 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm ，所用透镜的焦距为30mm ，光波波长为632.8nm 。

问细丝直径是多少解：设直径为a ，则有f d aλ=93632.8100.030.01261.510fa mm d λ--⨯⨯===⨯ 4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a 和b 的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab =时，（1）圆环衍射与半径为a 的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。

同样，圆屏使P 点振幅减小 ()()122'b J kb E p b c kb θπθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因此圆环在P 点产生的振幅为图12-50 习题3图 图12-51 习题6图()()22112'a b a J ka b J kb E E E c ka kb θθπθθ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∴P 点强度为()()222112224'a J ka b J kb I E c ka kb θθπθθ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦对于衍射场中心，0θ=有()()2224422222222204'4'22442a b a b a b I c c c a b ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2ab =时， （1）()222242224904'28416a b a I c c a ca π⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()()09016a I I = （2）第一暗纹有()()22110a J ka b J kb ka kb θθθθ-= ()11122a aJ ka aJ k θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭查表可有 3.144ka θ=3.144 3.1440.512ka a aλλθπ∴==⋅=4． （1）一束直径为2mm 的氦氖激光（632.8nm λ=）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km ⨯，问在月球上得到的光斑有多大（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m 的光束，该用多大倍数的望远镜将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61aλθ= ∴传到月球上时光斑直径为9830.610.61632.810222 3.7610290.3110D l l km a λθ--⨯⨯=⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ （2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。

直径980.610.61632.810'2'22 3.7610145.2'2D l l m a λθ-⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯=5． 若望远镜能分辨角距离为7310rad -⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率 解：970.610.615501022.243102D m λθ--⨯⨯⨯===⨯人眼分辨率为41' 2.910rad -≈⨯∴放大率472.910900310M --⨯≥⨯B 6． 若要使照相机感光胶片能分辨2m μ的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f 至少有多大（光波波长为550nm ）解： （1）胶片分辨率为31500210N -==⨯线/毫米 （2） 1.220.341490D N N d λ=⋅=B7． 一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm λ=时的最小分辨距离是多少（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到，分辨率提高了多少倍（3）显微镜的放大率应设计成多大（设人眼的最小分辨率为'1）。

解：（1）960.610.61400100.2910sin 0.85m n u λε--⨯⨯===⨯ （2）提高 1.45' 1.70.85ε== （3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为42250250 2.9107.2510e mm mm εα--=⋅=⨯⨯=⨯∴放大率至少为237.2510425'0.2910 1.7e mm M mm εε--⨯===⨯⨯8． 在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm λ=，透镜焦距50f cm =，观察到两相邻亮条纹之间的距离 1.5e mm =，并且第四级亮纹缺级。

试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。

解：（1）双缝衍射亮纹条件为sin ,0,1, 2..............d m m θλ==±± 取微分有 cos d m θθλ⋅∆=∆令1m ∆=，且cos 1θ≈，则dλθ∆B又e f f dλθ=∆⋅=⋅Q933632.8100.50.21101.510fd me λ---⨯⨯∴===⨯⨯ （2）衍射极小位置为sin a n θλ=,1, 2............0,1, 2............a dn m n m∴==±±=±± 取1,4n m ==0.054da mm ∴== （3）对于第一级亮纹有sin d θλ=±即2sin 2d πδθπλ==±又4d a =Qsin 4a λθ∴=±sin 4a ππαθλ∴==± ∴第一级亮纹的相对强度222102sin sin sin 240.81sin 24I I πδαδπα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理32000.4,0.09I I I I ==9． 在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm ，折射率为的玻璃片。

设双缝间距为1.5m μ，缝宽为0.5m μ，用波长500nm 的平行光垂直入射。

试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。

解：衍射图样不变，干涉位置变为()0sin d n n d m θλ+-=10． 一块光栅的宽度为10cm ，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm 。

问（1）它产生的波长632.8nm λ=的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少（2）若入射光是波长为632.8nm 和波长之相差0.5nm 的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少解：（1）611210500mm mmd m N -===⨯ 对于一级主极大有1sin 18.43d θλθ=⇒=︒31 3.3410cos fr mm Nd λθ-⋅∴==⨯同理32 4.0810r mm -=⨯（2）sin d m θλ=Q ∴线色散cos l m fd δδθθ⋅=∴1，2级衍射线色散为 15000.26/0.002cos18.43l mm mm nm mm δδθ⎛⎫==⎪⋅︒⎝⎭ 20.64/l mm nm δδθ⎛⎫=⎪⎝⎭ 而0.5nm λ∆=∴谱线间距 110.26/0.50.13l l mm nm mm δλθ⎛⎫∆=∆=⨯=⎪∆⎝⎭ 20.32l mm ∆=11． 设计一块光栅，要求（1）使波长600nm λ=的第2级谱线的衍射角030θ≤，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长600nm λ=的2级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。

在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线解：为使600nm λ=的二级谱线的衍射角30θ≤︒，则光栅常数d 应满足96260010 2.410sin sin 30m d m λθ--⨯⨯=≥=⨯︒∵色散cos d md d θλθ= ∴d 越小色散越大 ∴62.410d m -=⨯若第三级缺级，应有630.810a m d -==⨯ 由条件（4）600150000.022N m λλ===∆⋅⨯ ∴光栅总长度36L N d mm =⋅=可看到最高级条纹为69sin 2.410460010d dm θλλ--⨯=<==⨯ ∴可看到0,1,2±±级，3±级缺级，共5条条纹。

12． 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm 的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz ），光栅需要有多宽 解：632.8nm 对应的频率为144.74110Hz ⨯641445010632.86104.74110nm νλλν-⨯∴∆=⋅=⨯=⨯∆⨯ ∴光栅总条纹数为64632.81.00510610N m λλ-===⨯∆⋅⨯ ∴长度为611.005108791200L Nd mm ==⨯⨯= 13． 证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为220sin sin sin N I I αβαβ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭式中()sin sin a i παθλ=-，()sin sin di πβθλ=- θ为衍射角；i 为入射角，见图12-53，N 为光栅缝数。

（2）若光栅常数d λ>>，光栅形成主级大的条件可以写为()()cos d i i m θλ-= 0,1,2,...m =±±证明：（1）与垂直入射相比，有()22sin sin d i ππδθλλ=∆=- ()sin sin di πβθλ∴=- 同理()sin sin ai παθλ=-（2）光栅形成主极大有()sin sin d i m θλ-=图12-53 习题18图2cos sin22iid m θθλ+-=d λQ ? ,0i θ≈ coscos ,sin222iiii θθθ+--∴≈≈∴有()cos d i i m θλ-=14． 有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为2N ，缝宽为a ，缝间不透明部分的宽度依次为a 和3a 。