弹性力作功）；
质点系
2.刚体定轴转动、刚体平 平动刚体的动能
面运动时外力做功。
定轴转动刚体动能
平面运动刚体的动能
1.1外力作功
外力作功的定义
W
W
M2
M1 F
•dr
（一般式）
M2 M1
(Fx
dx
Fy
dy
FZ
dz
)（解析式）
常力的功 W FS cos(F, v)
重力的功 W mgh
弹性力的功
W
1 2
第十二章 动能定理习题课及应用实例
主要内容
复习第12章动能定理 第12章动能定理习题讲解 哈工大、华中科技大考研真题 动力学普遍定理的综合运用
1、本章内容复习
12章核心内容？
两边 动能定理：T2－T1＝W12 求导
功由势能提 供
功率方程
机械能守恒
外力做功的计算：
动能的计算：
1.常力、变力做功（重力、 质点
1.5机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 const （1）
机械能守恒定律
d (T V ) 0
（2）
dt
势能：质点系在某一位置的势能等于质点从该位置运
动到零势能位置过程中，有势力作功之和。
重力势能 V mg(ZC1 ZC0 )
两种势能的计算
弹性势能
V
1 2
k
(
2 1
2 0
)
ห้องสมุดไป่ตู้
用机械能守恒定理的解题步骤与应用动量定理基本相同，
习题详解
12—2 如图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg 的滑块A沿倾角为30的光滑斜槽运动。设绳子拉力F＝ 20 N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所 作的总功。
分析：
知识点：外力作功
C
常力的功 W FS cos(F, v)
重力的功 W mgh
解：
重力作功：Wg mgh mgABsin 30
只是计算势能时，注意零势面的选择。通常采用（2）式。
1.6功率与功率方程
功率： p w
dt p F • v Fv cos(F, v)
p M
功率方程： dT dt
Wi
dt
P
dT dt
P输入
- P输出
- P损耗
1.7 理想约束
理想约束的概念： 约束力不作功或作功的总和等于零的约束。
常见的理想约束：
PB BO l
vB ABl OBl AB OB
T2
TAB
TOB
1 2
J
P
2 AB
1 2
J
2
O OB
1 [ 1 ml2 ml( 3 l)2 ] 1 (1 ml2 ) 2
2 12
2 23
4 ml2 2
3
外力作功为：W12
M
2mg
l (1 cos )
2
应用动能定理：
4 ml 2 2 0 M 2mg l (1 cos )
vC2
1 2
J z 2
1 2
J P 2
1.3动能定理的两种形式
微分形式：
dT Wi
积分形式：
T2 T1 Wi
通常用积分形式。
1.4运用动能定理的基本步骤
(1)选取研究对象。一般情况下取整个系统为研究对象 （因理想约束情况下，约束反力不作功）。 (2)作受力分析，画受力图。 (3)计算力的功：计算系统由初始位置到末位置时所受的 全部主动力（包括作功的约束力）的功的和。 注意：无论外力还是内力，只要做功，都必须计算其功。
k
(
2 1
2 2
)
转矩的功
W 2 Md 1
动滑动摩擦力的功 W FS(F const)
1.2动能的计算
质点
T 1 mv2 （动能是物体机械运动的度量）
2
质点系
T
n i 1
1 2
mi
v
i
2
刚体平动时
T
1 2
mvC2
多刚体系统？
刚体
刚体绕定轴转动时
T
1 2
J z 2
刚体平面运动时
T
1 2
m
解：应用动能定理
系统初始动能T1=0
设链条离开滑轮时的速度为v，则系 统末了时刻的动能为：
分析： 此过程中，系统受主动力矩 M以及两杆重力的作用，用 动能定理。
初始静止，T1 0
当A端即将碰及O点时， 系统的动能：
T2 TOB TAB
OB杆定轴转动
TOB
1 2
J
2
O OB
1 6
ml
2 2 OB
AB杆平面运动
TAB
1 2
J
P
2 AB
如何由JP？
OB杆作定轴转动，AB杆作平面运动， P为AB杆的瞬心。
AB OC * Cot45 OC * Cot60 (6 2 3)m
F力所做的功：WF＝F（OA－OB）
其中：OA＝OC / sin 45
OB＝OC / sin 60
因此：W＝Wg WF 6.29J
C
12-7 平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量 均为m．长度均为l，在铅垂平面内运动。在杆AB上作 用一不变的力偶矩M，由图所示位置从静止开始运动， 不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时秆端A的速 度。
3
2
3 [M mgl(1 cos )
4ml 2
杆端A的速度：
vA 2l
3 [M mgl(1 cos )]
m
12-8 图所示链条全长l＝1m，单位长的质量为 2kg / m ， 悬挂在半径为R＝0.1m，质量m＝1kg的滑轮上，在图示 位置受扰动由静止开始下落。设链条与滑轮元相对滑动， 沿轮为均质圆盘，求链子离开滑轮时的速度。
(4)作运动分析：要分清研究对象中每个物体的运动，还 要分清已知运动学参量和未知的参量及相互之间是哪种运 动学关系。
(5)计算动能，建立动能定理方程：计算在运动始末两个 位置的瞬时动能，若应用运动定理的微分形式求加速度， 则计算系统在任意瞬时的动能。
(6)建立运动学补充方程：动能定理只有一个标量方程， 若末知量＞1，应建立运动学补充方程。
光滑固定支承面、铰链支座、辊轴支座； 连接两个刚体的光滑活动铰链(中间铰)； 连接两个质点的无重刚杆； 质量不计且不可伸长的柔软细绳； 刚体在固定面上作纯滚动。
1.8解题方法与技巧
动能是标量且永远为正值；功是代数量，有正负，须 正确判断其正负，及哪些力做功及哪些力不做功。 重力之功只与起始和终了位置有关，而与路径无关。 弹性力之功也只与起始和终了位置上弹簧变形有关， 与路径无关。当初变形大于末变形时，弹性力之功为 正，反之为负功。 要熟记常见力之功及刚体平动、转动和平面运动时具 有的动能的计算。这里要明确刚体平面运动时的动能 是随质心平动和绕质心转动动能之和。 要明确质点在势力场中运动的特征是机械能守恒，利 用机械能守恒定理，易得到质点速度与位置的关系。 不要将动能定理和机械能守恒定理混淆。动能定理建 立了机械能和其他形式能量转换的定量关系，而机械 能守恒定理只建立了质点系动能和势能之间的转换关 系，且只适用于保守系统或非保守力不做功的系统。