（ ） ∑ ｗ（ｎ）＝
３
（－１）ｍａｍｃｏｓ ２πｍ
ｍ＝０
ｎ Ｎ
（４）
系 数 ａ０ ＝０．３５８ ７５，ａ１ ＝０．４８８ ２９，ａ２ ＝０．
１４１ ２８，ａ３＝０．０１１ ６８。
第５期
陈 波，等：几种 ＦＦＴ 加窗三次样条插值的间谐波检测方法的比较
６１５
ｗ（ｎ）的 ＤＴＦＴ 频谱函数 ＷＢ－Ｈ（ｅｊω）为：
Ｎ－１
∑ ＷＢ－Ｈ（ｅｊω）＝ ｗ（ｎ）ｅ－ｊωｎ ｎ＝０
（５）
对 信 号 ｘ（ｎ）加 Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗 得 信 号
ｘｗ （ｎ）为 ：
ｘｗ （ｎ）＝ ｘ（ｎ）ｗ（ｎ）。
ｘｗ（ｎ）的 ＤＴＦＴ 频谱函数 Ｘｗ（ｅｊω）为：
Ｎ－１
Ｘｗ（ｅｊω）＝ ｘ（ｎ）ｗ（ｎ）ｅ－ｊωｎ ＝ ｎ＝０
几种 ＦＦＴ 加窗三次样条插值的 间谐波检测方法的比较
陈 波１， 徐 扬１， 郑 鹏２， 赵 卫 忠１， 刘 冬 梅１
（１．合肥工业大学 电气与自动化工程学院，安徽 合肥 ２３０００９；２．江苏省电力公司检修分公司南京分部，江苏 南京 ２１００００）
摘 要：在非整周期采样的情况下，快速 傅 里 叶 变 换 （ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ＦＦＴ）存 在 较 大 的 误 差。 文 章 通 过在 Ｍａｔｌａｂ中对构造的信号模型进行仿真，比较了几种基于三次样条插值的加窗 ＦＦＴ 算法 的 间 谐 波 检 测 精 度，并以 Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗三次样条插值 ＦＦＴ 算法为例，对其 进 行 了 公 式 推 导，得 到 了 该 算 法 信 号 频 率、幅 值和相位的计算公式。仿真结果表明，文中的几种基于 三 次 样 条 插 值 的 加 窗 ＦＦＴ 算 法 的 间 谐 波 检 测 精 度 较 高，频率平均 误 差 可 达 到 ０．０２％ 以 内，幅 值 平 均 误 差 可 达 到 ０．３％ 以 内，有 效 地 减 小 了 非 整 周 期 采 样 对 ＦＦＴ 的影响。 关 键 词 ：快 速 傅 里 叶 变 换 ；三 次 样 条 插 值 ；Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗 ；间 谐 波 ；谐 波 检 测 中 图 分 类 号 ：ＴＭ９３５．２１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１００３－５０６０（２０１６）０５－０６１３－０５
２π Ｎ
ｌ－
本文针对 Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗 三 次 样 条 插 值 ＦＦＴ 算法进 行 了 公 式 推 导，并 使 用 Ｍａｔｌａｂ 进 行 仿真，比较了几种基于 三 次 样 条 插 值 的 加 窗 ＦＦＴ 算 法 的 间 谐 波 检 测 精 度 ，仿 真 结 果 表 明 ，本 文 比 较 的几种方法的间 谐 波 检 测 精 度 较 高，有 效 地 减 小 了非整周期采样对 ＦＦＴ 的影响。
收 稿 日 期 ：２０１５－０５－０６；修 回 日 期 ：２０１５－０７－２０ 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （１１１０５０３７） 作 者 简 介 ：陈 波 （１９７６－ ），男 ，安 徽 阜 阳 人 ，博 士 ，合 肥 工 业 大 学 副 教 授 ，硕 士 生 导 师 ．
６１４
合 肥 工 业 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第 ３９ 卷
化导致非整周期采样时，由于频谱泄漏和栅栏效应 的影响，ＦＦＴ 会产生很大的误差 。 ［１１－１３］
为了减小电网频率变化对谐波检测的影响， 可以采用硬件锁 相 环 电 路 实 现 同 步 采 样，也 可 以 采用加窗插值 ＦＦＴ 算 法、神 经 网 络 算 法、小 波 分 析算法等其他 算 法。 加 窗 插 值 ＦＦＴ 算 法 是 应 用 较为广泛的一种 方 法，通 过 采 用 性 能 优 良 的 窗 函 数以及对计算结果进行插值修正可减小非整周期 采 样 引 起 的 误 差 。 ［１４－１６］
２ｊ
Ｂ－Ｈ
２π Ｎ
ｋ－
ｆ１ Δｆ
（７）
其 中 ，Δｆ＝ （ｆｓ／Ｎ）＝ （１／ＮＴｓ）。
在非整周期采样时，ｆ１／Δｆ 不为整数。令
λ ＝ ｆ１ ＝ｌ＋ｒ Δｆ
（８）
其中，ｌ为最接近ｆ１ 的整数。 Δｆ
令ｋ＝ｌ，由 （７）式 、（８）式 可 得 ：
［ （ ）］ Ｘｗ（ｌ）＝
Ａ１ｅ样点数。
余弦组合窗的时域表达式为：
∑ （ ） ｗＮ （ｎ）＝
Ｒ－１ ｒ＝０
（－１）ｒａｒｃｏｓ
２Ｎπｒｎ
，
其中，Ｒ 为窗函数的项数；ａｒ 满足约束条件：
Ｒ－１
∑ａｒ ＝１，
ｒ＝０ Ｒ－１
∑（－１）ｒａｒ ＝０。
ｒ＝０
余弦组合窗的系数见表１所列。
窗的类型
Ｈａｎｎｉｎｇ窗 Ｈａｍｍｉｎｇ窗 ４项１阶 Ｎｕｔｔａｌｌ窗 ４项３阶 Ｎｕｔｔａｌｌ窗 ４项 Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ⅰ）窗 ４项 Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ⅲ）窗 Ｂｌａｃｋｍａｎ窗 Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗
非线性负荷的大量增加使得电力系统谐波污 染 日 益 严 重［１－２］。 大 量 存 在 在 电 网 中 的 间 谐 波 会 对 电能质量以 及 供 电 可 靠 性 带 来 不 利 影 响 ，因 此 ，在 进行电力系统谐波分析时，研究非基波频率整数倍
的间谐波同样重要［３－４］。ＦＦＴ 是目前应用在谐波参 数检测中的 较 为 普 遍 的 一 种 方 法［５－６］，相 比 于 其 他 的方法，ＦＦＴ 具有计算速度快、应用范围广、技术成 熟等诸 多 优 点 。 ［７－１０］ 然 而 当 被 测 信 号 频 率 发 生 变
ｔ＝ｎＴｓ
ｉ＝１
ｈ
ｈ
∑ ∑ （ ） Ａｉｃｏｓ（ｎωｉ ＋φｉ）＝
ｉ＝１
ｉ＝１Ａｉｃｏｓ ２πｎｆｆｉｓ
＋φｉ
（２）
以 基 频 信 号 为 例 进 行 分 析 ，即
（ ） ｘ（ｎ）＝ Ａ１ｃｏｓ ２πｎｆｆ１ｓ ＋φ１ ＝
Ａ１ｃｏｓ（ｎω １ ＋φ１）
（３）
其中，Ａ１、ｆ１、φ１ 分 别 为 信 号 的 幅 值、频 率、相 位；
分辨 率 越 高；旁 瓣 越 大，泄 漏 越 多；旁 瓣 渐 近 衰 减
越快，对泄漏 的 抑 制 能 力 越 强。 应 选 择 旁 瓣 峰 值
电 平 小、旁 瓣 渐 近 衰 减 快 的 窗 函 数 对 信 号 进 行
处理。
Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗 是 一 种 ４ 项 系 数 余 弦 窗 ，
其表达式如下：
ａ２
０．１４４ ２３２ ０．１６１ ０５４ ０．６０ ０．４９７ ５４０ ０．０８ ０．１４１ ２８０
ａ３
０．０１２ ６０４ ０．０１８ ０２７ ０．１０ ０．０６１ ５８０
０．０１１ ６８０
余弦组合窗的旁瓣特性见表２所列。
表 ２ 余 弦 组 合 窗 的 旁 瓣 特 性
窗的类型
Ｈａｎｎｉｎｇ窗 Ｈａｍｍｉｎｇ窗 ４项１阶 Ｎｕｔｔａｌｌ窗 ４项３阶 Ｎｕｔｔａｌｌ窗 ４项 Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ⅰ）窗 ４项 Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（Ⅲ）窗 Ｂｌａｃｋｍａｎ窗 Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ窗
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ－ｐｅｒｉｏｄ ｓａｍｐｌｉｎｇ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｂｉｇ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ （ＦＦＴ）．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｎｔｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗｉｎ－ ｄｏｗｅｄ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＦＦＴ ｉｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｇｎａｌ ｍｏｄｅｌ ｉｎ Ｍａｔｌａｂ． Ｔａｋｉｎｇ Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ ｗｉｎｄｏｗ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＦＦＴ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｄｏｎｅ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｐｈａｓｅ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｎｔｅｒｈａｒｍｏｎｉｃｓ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗｉｎｄｏｗｅｄ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ＦＦＴ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｈｉｇｈ．Ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃａｎ ｂｅ ｌｏｗｅｒ ｔｈａｎ ０．０２％ ，ａｎｄ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃａｎ ｂｅ ｌｏｗｅｒ ｔｈａｎ ０．３％ ，ｔｈｕｓ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ－ｐｅｒｉｏｄ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｏｎ ＦＦＴ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆａｓｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）；ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；Ｂｌａｃｋｍａｎ－Ｈａｒｒｉｓ ｗｉｎｄｏｗ；ｉｎｔｅｒ－ ｈａｒｍｏｎｉｃｓ；ｈａｒｍｏｎｉｃ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ
１ 公 式 推 导
设频率为ｆｉ，幅值为 Ａｉ，相位为φｉ，最高谐波 次数为ｈ 的谐波信号ｘ（ｔ）为：
ｈ
∑ ｘ（ｔ）＝ Ａｉｃｏｓ（２πｆｉｔ＋φｉ） ｉ＝１
（１）
以 采 用 频 率 ｆｓ 均 匀 采 样 得 到 其 离 散 信 号 ｘ（ｎ）为 ：
ｈ
∑ ｘ（ｎ）＝ ｘ（ｔ）
＝ Ａｉｃｏｓ（ΩｉｎＴｓ ＋φｉ）＝
表 １ 余 弦 组 合 窗 的 系 数
系数
ａ０