x
（a
2 a3
）ea
2
a
2 a2
2 a3
;
y
（
a
2 a3
）ea
2
a
2 a2
2 a3 ;
zc
所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为
ax
2x 2
a3
2 ea a
2; a
ay
2 y 2
a3
2 a
ea
2 a
;
az 0;
1-3 流体运动的速度由 u x2 , y 2, xz 给出，当τ=1时，求质点
x
y
2
2 z 2
2
由已知条件得： a x;
bc
y e
z
;
bc
yz e
代入上式得速度的欧拉描述：
u x 0;
u e y
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
z;
u e z
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
y;
1-2设流体运动的欧拉描述为 ux ax 2,uy by 2,uz 0, 试求流体运 动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0）
ux
2x
1
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
分别积分得：
所以： x c11 2;
y c2 1 3
z c31
τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c1 a; c2 b; 质点的迹线方程为
x
a a uy
3
e
1 3
(
3
1)
(2
3
);
uz
8
2( 1 1)
e
(1
1)
y
z 3
1-4
流体运动的速度由
ux
2x 1
,uy
3y 1
,uz
z 1
描述
（1）求其加速度的欧拉描述
（2）求矢径r=r(a,b,c,τ)的表达式和加速度的拉格朗日描述
（3）求流线和迹线
解：（1）加速度的欧拉描述为
求得：c1 3;
-1
c2 3e 3 ;
c2 2e2;
求得：
x
2
2
3
y
3e
1 3
(
3
1)
z
2e2
1
1
所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为
u x 4 3;
x
u u
y
3
e2
1 ( 3
3
1)
;
y
z
4
2( 1 1)
e
z
所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为
a ux 12 4;
• 拉格朗日描述
位 置 r r (a, b, c, ) 或
速 度 u u(a, b, c, ) 或
加速度
ax (a,b, c,
)
ux
(a,b, c,
)
2x(a,b, c, )
2
ay
(a,b, c,
)
u y
(a, b,
c,
)
2
y(a, b, 2
c,
)
az
(a, b,
c,
)
uz
(a, b,
uz
uz z
0
由
dx d
ux
ax 2 ,
dy d
uy
by
2,
dz d
uz
0
积分得：
x
c1ea
2
a
2 a2
2 a3 ;
y
c2eb
2
b
2 b2
2 b3 ;
当 0时刻，x a, y b, z c 代入上式得：
2 c1 a a3
2 c2 b b3
又因：a b 0
c3 c
z c3
y b1 3
uy
3b1 2;
uz
z
c1
c
所以, 拉格朗日描述的加速度：
ax
ux
2 a;
ay
u y
6b1 ;
az
z
0
（3）由流线方程得：
dx dy dz
2x
3y
z
1 1 1
1
1
1
即x 2 1 y3
c1;
x z
2
c2 ;
y3 z
c3;
质点的迹线方程为：

因：
dx d
x x( ) y y( )
z z( )
速度
u
dr
u(r, )
ux
ux (x,
y,
z,
)
dx d
d
或
u(x( ), y( ), z( ), )
uy
uy (x,
y,
z, )
dy d
uz
uz (x,
y,
z,
)
dz d
加速度
a(x,
y,
z, )
du
u
u
dx
u
dy
u
dz
d x d y d z d
ax
dux d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
1
2
x
2
1
4x
2
2x
1 2
ay
du y d
u y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
6y
1 2
a z
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
0
分别对速度的欧拉描述进行积分得：
因：
dx d
ux
2x
1
解：加速度的欧拉描述为：
a dux x d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
2 a ax 2
0 0 2 a2 x a 2
ay
du y d
u y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
2
b2 y b 2
az
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
所以： x c11 2;
y c2 1 3
z c31
（2）由题意得： τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c1 a; c2 b; c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
所以：
ux
x
a1 2
2a1 ;
c,
)
2z(a,b, c, )
2
x x(a,b, c, ) y y(a,b, c, ) z z(a,b, c, )
ux
(a, b,
c,
)
x(a, b,
c,
)
uy
(a,b, c,
)
y(a,b, c,
)
uz
(a,b, c,
)
z(a,b, c,
)
• 欧拉描述
位置
r r (x( ), y( ), z( ), ) 或
p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）
解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为
u u u x2 ; y 2; xz
x
y
z
dx d
ux
x2 ;
dy d
uy
y 2;
dz d
uz
xz
积分得：x
2
2
c1;
3
y c2e 3 ;
2
z c3e
代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）
• 拉格朗日描述
f=f (a,b,c,t)
说明：f 为流体质点的某一物理量，上 式表示在运动初始时刻坐标为 (a,b,c)的流体质点在t时刻该物 理量的值或表达式。
• 欧拉描述
f F (x( ), y( ), z( ), )
说明：①用其表示流体质点在 不同时刻运动到空间某 一点的位置 ②在直角坐标系中，欧 拉坐标可以直接用直角 坐标(x,y,z)表示。
u
ux
u x
uy
u y
uz
u z
u
(u
• )u
——哈密顿算子；
i
j
k
x y z
1-1流体质点的位置用x
a,
y
e
b 2
c
e
b
c 2
,
z
e
b
2
c
e
b
c 2
,表示，求其速
度的拉格朗日描述与欧拉描述。
解：速度的拉格朗日描述
u u u x 0; y e b c e b c ; z e b c e b c ;