历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）一、选择题：（每小题5分，计40分）1．（2008北京文）已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.（2007重庆理）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC=（）A.33-B.2C.2D.33+3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =() （A ）1（B ）2（C ）3—1（D ）34．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a cb +-=，则角B 的值为（）Ａ．6π Ｂ．3πＣ．6π或56π Ｄ．3π或23π5．（2005春招上海）在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（） （A ）直角三角形.（B ）等边三角形.（C ）钝角三角形.（D ）等腰直角三角形.6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（）A ．14B ．34C ．4D ．37．（2005北京春招文、理）在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（） A ．231+B ．31+C ．232+D ．32+二.填空题:（每小题5分，计30分）9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝。
10.(2008湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒则A ＝.11.（2006北京理）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是_____. 12.（2007北京文、理)在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =________． 13．(2008湖北理)在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC 的值为.14．（2005上海理）在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S=_______ 三.解答题:（15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）15．(2008全国Ⅱ卷文)在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．16.（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若25=•，且9a b +=，求c ．17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
18.（2006全国Ⅱ卷文）在45,ABC B AC C∆∠=︒==中，求（1）?BC=(2)若点D AB是的中点，求中线CD的长度。
19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求CA sincos+的取值范围.20.（2003全国文、理，广东）图）的东偏南(cosθθ=方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）参考答案一、选择题：（每小题5分，计40分）二.填空题:（每小题5分，计30分）9.3；10.30°；.11.__60O_.12.210；13．612；14．43三.解答题:（15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）15．解：（Ⅰ）由5cos13A=-，得12sin13A=，由3cos5B=，得4sin5B=．所以16sin sin()sin cos cos sin65C A B A B A B=+=+=．（Ⅱ）由正弦定理得45sin13512sin313BC BACA⨯⨯===．所以ABC△的面积1sin2S BC AC C=⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．16.解：（1）sintancosCCC=∴=又22sin cos1C C+=解得1cos8C=±．tan0C>，C∴是锐角．1cos8C∴=．（2）∵25=•，即abcosC=25，又cosC=8120ab∴=．又9a b+=22281a ab b∴++=．2241a b∴+=．2222cos36c a b ab C∴=+-=．6c∴=．17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD=+=∠，CB AC CD==，所以15CBE=∠．东所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+． 故2sin 30cos15AE=12⨯==18．解：（1）由cos sinC C ==由正弦定理知sin sinAC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅=，112BD AB == 由余弦定理知13222312181cos 222=⋅⨯⨯-+=⋅-+=B BC BD BC BD CD19.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，2A 0π<<，πππ<+<6A 2．解得2A 3ππ<<所以653A 32πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 20.解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60， 由102cos =θ，可知1027cos 1sin 2=-=θθ， cos ∠OPQ=cos(θ-45o)=cos θcos45o+sin θsin45o=5422102722102=⨯+⨯ 在△OPQ 中，由余弦定理，得东=54203002)20(30022⨯⨯⨯-+t t=9000096004002+-t t若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即22)6010(900009600400+≤+-t t t ，整理，得0288362≤+-t t ，解得12≤t ≤24, 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 1．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ,222cos 2b c a A bc+-=；3.射影定理：a =b cos C +c cos B ；b =a cos C +c cos A ；c =a cos B +b cos A4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cos2C =sin 2B A +,sin 2C =cos 2B A +（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况： bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有解；a<bsinA 时无解。
6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
7．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力。