历年高考真题汇编---数列(含)1、(全国新课标卷理)等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以219q =。
有条件可知a>0,故13q =。
由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =。
故数列{a n }的通项式为a n =13n 。
(Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=-故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+2、(全国新课标卷理)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时,111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=。
而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。
(Ⅱ)由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ①从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅L ②①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅L 。
即 211[(31)22]9n n S n +=-+3.设}{n a 是公比大于1的等比数列,S n 为数列}{n a 的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ,求数列}{n b 的前n 项和T n . 。
4、(辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 (I )求数列{a n }的通项公式; (II )求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 (II )设数列1{}2n n n a n S -的前项和为,即2111,122n n n a a S a S -=+++=L 故, 12.2242n n n S aa a =+++L 所以,当1n >时,1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---L L=.2n n 所以1.2n n n S -= 综上,数列11{}.22n n n n a nn S --=的前项和 5、(陕西省)已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n }的通项; (Ⅱ)求数列{2an }的前n 项和S n . 解 (Ⅰ)由题设知公差d ≠0,由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得121d +=1812dd++, 解得d =1,d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n .(Ⅱ)由(Ⅰ)知2ma =2n,由等比数列前n 项和公式得S n =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-6、(全国卷)设等差数列{n a }的前n 项和为n s ,公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ,已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。
解: 设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ②由①②及0q >解得 2,2q d ==故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=⨯7、(浙江卷)已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈,且11a ,21a ,41a 成等比数列.(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)对*N n ∈,试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小.解:设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意可知2214111()a a a =⋅ 即2111()(3)a d a a d +=+,从而21a d d = 因为10,.d d a a ≠==所以故通项公式.n a na =(Ⅱ)解:记22222111,2n nn n T a a a a a =+++=L 因为所以211(1())111111122()[1()]1222212n n n n T a a a -=+++=⋅=--L从而,当0a >时,11n T a <;当110,.n a T a <>时8、(湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。
(I) 求数列{}n b 的通项公式;(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列。
9、(2010年山东卷)已知等差数列{}n a 满足:73=a ,2675=+a a ,{}n a 的前n 项和为n S (Ⅰ)求n a 及n S ;解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由于73=a ,2675=+a a ,所以721=+d a ,261021=+d a , 解得31=a ,2=d ,由于d n a a n )1(1-+=,2)(1n n a a n S += , 所以12+=n a n ,)2(+=n n S n(Ⅱ)因为12+=n a n ,所以)1(412+=-n n a n因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n故n n b b b T +++=Λ21)1113121211(41+-++-+-=n n Λ )111(41+-=n )1(4+=n n 所以数列{}n b 的前n 项和)1(4+=n n T n (Ⅱ)令112-=n n a b (*N n ∈),求数列{}n b 的前n 项和为n T 。
10、(重庆卷)已知{}n a 是首项为19,公差为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和. (Ⅰ)求通项n a 及n S ;(Ⅱ)设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .11、(四川卷)已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4。
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 的前n 项和n SⅡ)由(Ⅰ)得解答可得,1n n b n q -=g ,于是0121123n n S q q q n q -=++++g g g L g .若1q ≠,将上式两边同乘以q 有()121121n n n qS q q n q n q -=+++-+g g L g g .两式相减得到()12111n n n q S n q q q q --=-----g L11n nq nq q -=-- ()1111n n nq n q q +-++=-.于是()()12111n n n nq n q S q +-++=-.若1q =,则()11232n n n S n +=++++=L .所以,()()()()()121,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++⎧=⎪⎪=⎨-++⎪≠⎪-⎩ (12)12、(上海卷)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈ 证明:{}1n a -是等比数列;并求数列{}n a 的通项公式解:由*585,n n S n a n N =--∈ (1)可得:1111585a S a ==--,即114a =-。
同时 11(1)585n n S n a ++=+-- (2) 从而由(2)(1)-可得:1115()n n n a a a ++=--即:*151(1),6n n a a n N +-=-∈,从而{1}n a -为等比数列,首项1115a -=-,公比为56,通项公式为15115*()6n n a --=-,从而1515*()16n n a -=-+。