江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高一数学答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8． D 9．C 10．A 11．A 12．B
13．2 14．30° 15 16 17．解：（1）由240320x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩得：0
2
x y =⎧⎨=⎩， ()0,2P ∴；
（2）Q 直线30x y -+=斜率为1，∴直线l 斜率1k =-.
():210l y x ∴-=--，即：20x y +-=.
18．解：（1）()2sin 6f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭，则当[0,]x π∈时，5[,]666
x πππ
-∈-，1sin()[,1]62x π-∈-，2sin()[1,2]6
x π
-∈-，所以函数()f x 的值域为[1,2]-．
（2）102sin 613f παα⎛⎫
+
== ⎪⎝
⎭，即5sin 13α=，0,2απ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
，故12cos 13α=； 512120
sin 22sin cos 21313169
ααα==⨯
⨯=． 19．解：（1）取CD 的中点I
∵E 、F 、I 分别是正方形ABCD 中AB 、BC 、CD 的中点 ∴1
2
CF EI ∥
∴在平面ABCD 中，延长EF 与DC 必交于C 右侧一点P ，且PC CI = 同理，在平面11CC D D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q ，且QC CI = ∴P 与Q 重合
进而，直线EF 与GH 相交
方法二：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、H 分别是AB 、11C D 的中点 ∴112
EB CD HC ∥∥
∴1EBC H 是平行四边形 ∴1EH BC ∥
又∵F 、G 分别是BC 、1CC 的中点 ∴11
2
FG BC ∥
∴∥EH FG ，EH FG ≠
∴EF 、GH 是梯形EFGH 的两腰 ∴直线EF 与GH 相交
（2）解：∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC ∥ ∴11ACC A 是平行四边形 ∴11//AC A C
又∵E 、F 分别是AB 、BC 的中点 ∴//EF AC ∴11EF AC P
∴1A D 与EF 所成的角即为1A D 与11A C 所成的角
（或：1A D 与EF 所成的角即为11DAC ∠及其补角中的较小角）① 又∵在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC D ∆为等边三角形 ∴1160DAC ∠=︒②
∴由①②得直线1A D 与EF 所成的角为60︒ 20．（1）在CAM V 中，已知3
CAM π
∠=
，sin CMA ∠=
，2AC =，由正弦定理，得
sin sin CM AC CAM CMA
=∠∠
，解得sin
233sin AC CM CMA π
⋅=
==∠．
（2）因为12BMN ACB S S =
△△，所以111
sin 22622
BM BN π⋅⋅⋅=⨯⨯⨯
BM BN ⋅=
在BMN ∆中，由余弦定理得，
()2
2222cos
2162MN BM BN BM BN BM BN BM BN π
⎛=+-⋅=+-⋅⋅+ ⎝⎭
，
即()2
2
21BM BN ⎛=+-⨯+
⎝
⎭
， ()
(2
2
194BM BN +=+=+，
故4BM BN +=+
21．（1）由题意知111
21222
OM AD BC =
==⨯=，
3
sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=
o ，
cos 11cos301BN OA OM MOD =+∠=+⨯==
o ，
1132622228
PMN S MN BN ∆+∴=
⋅=⨯⨯=
，即三角形铁皮PMN
的面积为68
+； （2）（2）设MOD x ∠=，则0x π<<，因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以只需考察02
x π
<≤。

sin sin 1MN OM x CD x =+=+， cos cos 1BN OM x OA x =+=+，
()()()111
sin 1cos 1sin cos sin cos 1222
PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=
⋅=+⋅+=+++
令sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝⎭
，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，
则有
sin 124x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭
，所以1t ≤≤， 且()
2
2
sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21
sin cos 2
t x x -=， 故()()22
211111211224
4PMN
t S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭， 而函数()2
114
y t =
+
在区间⎡⎣上单调递增，
故当t =
时，y
取最大值，即
)
2
max 1
14
y =
=
，
即剪下的铁皮三角形PMN
．
22．解：（Ⅰ）由题意可设圆M
的圆心为(,x
x
，
≥=
2
x=，
所以圆M
的面积最小值为．
（Ⅱ）由|
||
|OD
OC=，知l
OM⊥．
所以3
3
2
=
=
t
k
OM
，解得1
±
=
t．
当1
=
t时，圆心M)3
,1(到直线4
3
3
:+
-
=x
y
l的距离)1
3
(2-
=
d小于半径，符合题意；
当1
-
=
t时，圆心M)3
,1
(-
-到直线4
3
3
:+
-
=x
y
l的距离)1
3
(2+
=
d大于半径，不符合题意．
所以，所求圆M的方程为4
)3
(
)1
(2
2=
-
+
-y
x．
（Ⅲ）设)
,5(
y
P，)
,
(
1
1
y
x
G，)
,
(
2
2
y
x
H，又知)3
,1
(-
E，)3
,3(
F，
所以
GE
PE
k
x
y
y
k=
+
-
=
-
=
1
3
6
3
1
1
0，
FH
PF
k
x
y
y
k=
-
-
=
-
=
3
3
2
3
2
2
0．
因为
PF
PE
k
k=
3，所以
2
2
2
2
2
1
2
1
)3
(
)3
(
)1
(
)3
(
9
-
-
=
+
-
⨯
x
y
x
y
．
将2
1
2
1
)1
(
4
)3
(-
-
=
-x
y，2
2
2
2
)1
(
4
)3
(-
-
=
-x
y代入上式，
整理得0
20
)
(7
2
2
1
2
1
=
+
+
-x
x
x
x．①
设直线GH 的方程为b kx y +=，代入4)3()1(2
2=-+-y x ，
整理得032)2322()1(2
22=-+--++b b x k kb x k ．
所以22112322k k kb x x +---=+，2
221132k b
b x x +-=⋅．
代入①式，并整理得033710)327(2
2=+-+-+b k b k b ，
即0)35)(32(=-+-+k b k b ， 解得k b 23-=或k b 53-=．
当k b 23-=时，直线GH 的方程为3)2(+-=x k y ，过定点)3,2(； 当k b 53-=
时，直线GH 的方程为3)5(+-=x k y ，过定点)3,5(
第二种情况不合题意（G 、H 只可能在直径的异侧），舍去。