利用立方和立方差公式进行因式分解一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-强化练习1．因式分解下列各式：(1) 31x - (2) 338a b + (3)66x y -2．把下列各式分解因式： (1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y-+强化练习答案1． (1) 31x -=331x -=22(1)(11)x x x -+⋅+=2(1)(1)x x x -++(2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-⋅+ (3)66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +-2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++立方和与立方差公式1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.例 计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)； （3 ）（4）课堂练习1立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)( )(41 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是????????????????????????????????????????[??? ]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3．4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是????????????????????? [??? ]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)(4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)(7) (1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9) (10) (a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．6 已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值．立方和与立方差习题一、公式 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3=a 3+b 3．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3=a 3-b 3．二、运用乘法公式计算：1、(l)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(5)(x-3)(??? )=x 3-27；(6)(2x+3)(??? )=8x 3+27； (7)(x 2+2)(??? )=x 6+8；(8)(3a-2)(??? )=27a 3-8．三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式（1）1642721333x a b ---（） （3）()()x y x y x y m m +--+33334（）（5）8133b a +（6）82733b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。

? （1）a 2+b 2?? (2) a 2-ab+b 2?? (3) (a-b)2??(4) a 3+b 31)(3+2y)(9-6y+4y 2)；(2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)；（3 ）（4）课堂练习1立方和或立方差公式：(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2(1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)( )(41-xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________3、下列等式能够成立的是[??? ]A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3；B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3；C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[??? ]A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)；B ．(m-n)(m 2+n 2)；C ．(x+1)(x 2-x+1)；D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)(4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)(7) (1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)； (9)(a-3)(a 2+3a-9)(10) (a-2b)(a+2b)(a 2+2ab+4b 2)(a 2-2ab+4b 2)．6 已知x 2+y 2=6，xy=2，求x 6+y 6的值． 8、(1) 2(2)(24)x x x +-+(2)22(25)(41025)a b a ab b +-+(1) 2(21)(421)x x x -++(2)22()()32964a b a ab b -++ 9、225(5)(25)224b ab b a a -++2222(3)(2)(24)(39)x y x y x x y y x x y y -+-+++ 已知32x =，求2(3)(39)x x x -++的值。

10、分解下列各式： (1) 31x -(2) 338a b +(3)66x y -11、利用立方和或立方差公式，因式分解下列各式： (1) 2713+x(2) 331258b a - (3)322x x +-(4) 6664a b -（5）66x y -1(1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27；(3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a 与b?(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立言和(或差)) 2(1)()(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)()(9a 2-6ab+4b 2)＝__________；(3)()(41-xy+4y 2)＝__________； (4)()(m 4+4m 2+16)＝__________3立方和与立方差公式计算：(1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x)；(4)(32a-21b)(94a 2+31ab+41b 2)；(5)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y4) 1(1)(5-2y)(4y 2+25+10y)； (2)(1+4x)(16x 2+1-4x)； (3)(2a-3b)(4a 2+6ab+9b 2)； (4)(-x-2y)(x 2-2xy+4y 2)；(5)(y-x)(x 2+xy+y 2)； (6)(10-3)(9+30+100) 2(1)(x-1)(x 2-x+1)； (2)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)；(3)(b+5)(-5b+25+b 2)； (4)(a-3)(a 2+3a-9)。