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常用的统计量抽样分布总结

常用的统计量抽样分布
一.正态分布
1. ∑==n
i i X n X 1
1EX →
2. 2
12
)(11∑=--=n i i X X n S ][112
1
2∑=--=n i i X n X n DX → 3. 定理:
X ~),(2σμN ,n X X X ,,,21Λ为X 的样本,则 (1). X ~),
(2
n
N σμ,
(2).
2
2
)1(σS n -~)1(2-n χ,
(3). X 与2S 相互独立。

二.2χ分布 1. 定义
设n X X X ,,,21Λ独立同分布,且~)1,0(N ,则)(~2122
n X n
i i χχ∑==
2. 性质:
(1). 若X ~)(12n χ,Y ~)(22n χ,且X ,Y 独立,则X +Y ~)(212n n +χ。

(2). 若X ~)(2n χ,则n EX =,2DX n =。

三.t 分布 1. 定义
设X ~)1,0(N ,Y ~)(2n χ,且X ,Y 独立,则n
Y X T =~)(n t 。

2. 定理:
设n X X X ,,,21Λ独立同分布,且~),(2σμN ,则
n
S X μ

σ
μS
n X )(-=1
)1()
(2
2
---=
n S
n n X σσ
μ~)1(-n t
(因为
n
X σ
μ-~)1,0(N ,
2
2
)1(σS n -~)1(2-n χ)。

3. 定理:
设1,,,21n X X X Λ为总体X ~),(21σμN 的样本,
1,,,21n Y Y Y Λ为总体Y ~),(22σμN 的样本,且Y X ,独立,则
2
12111)()(n n S Y X w
+---μμ~)2(21-+n n t ,其中
2
)1()1(212
2
22112-+-+-=n n S n S n S w。

证:因为
2
2
11)1(σS n -~)1(12
-n χ,
2
2
2
2)1(σS n -~)1(22-n χ,
所以
2
2
2
2211)1()1(σ
S n S n -+-~)2(212-+n n χ;
又X ~),
(1
2
1n N σμ,Y ~),
(2
2
2n N σμ,
所以X Y -~),
(2
2
1
2
21n n N σσμμ+
+,
所以
212111)
()(n n Y X +
---σμμ~)1,0(N ,所以 2
12111)()(n n S Y X w
+---μμ
2
12111)
()(n n Y X +---=
σ
μμ/
)2/()1()1(212
2
2
2211-+-+-n n S n S n σ
~)2(21-+n n t 。

四.F 分布 1. 定义
设U ~)(12n χ,V ~)(22n χ,且V U ,独立,则2
1n V
n U
F =~),(21n n F 。

2. 定理:
设F ~),(21n n F ,则F
1
~),(12n n F 3. 定理:
设1,,,21n X X X Λ为总体X ~),(211σμN 的样本,
1,,,21n Y Y Y Λ为总体Y ~),(2
22σμN 的样本,且Y X ,独立,则
)1,1(~//2122
222
121--=n n F S S F σσ。

常用的统计量抽样分布示例
例1 设2521X X X Λ,
,是来自总体()1~2
χX 的一个样本,则∑=25
1
i i
X 服从()252
χ
分布;
例2设随机变量21,X X ,3X 相互独立,1X ~)1,0(N ,2X ~)21,
0(N ,3X ~)3
1
,0(N ,则232
22132X X X ++服从)3(2χ分布。

例3 设总体X 服从)2,0(2
N ,而1521,,,X X X Λ为来自总体X 的简单随机样本,则随机变量
)
(22
152112
10
2221x X X X X Y ++++=ΛΛ服从)5,10(F 分布。

例4 设随机变量Y X ,相互独立且都服从)3,0(2
N ,而921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ为分别来
自总体X 和Y 的简单随机样本,则统计量29
2
1
9
21Y
Y X X X U
++++=
ΛΛ服从)9(t 分布。

例5 设n X X X ,,,21Λ)2(≥n 为来自总体)1,0(N 的简单随机样本,X 是样本均值,2
S 是样本
方差,则 D .
(A). X n ~)1,0(N (B) 2
nS ~)(2
n χ
(C). S
X
n )1(-~)1(-n t (D) ∑=-n
i i X X n 2
2
21)1(~)1,1(-n F 解:
∑=-n
i i
X
X n 2
22
1)1(∑=-=
n
i i
n X
X 2
2211
/1
/~)1,1(-n F
例6 设总体X 服从),(2
1σμN ,总体Y 服从),(2
2σμN ,1,,,21n X X X Λ为来自总体X 的简单随机样本,2,,,21n Y Y Y Λ为来自总体Y 的简单随机样本,则
解:原式2
121)([211∑=--+=n i i X X E n n ])(21
2
∑=-+n
i i Y Y

2
2
1
)
(1
σ
∑=-n i i
X X
2
2
1)1(σ
S
n -=
~)1(12-n χ,故2
2
1
22
()[]1n i
i X
X E n σ
=-=-∑,从而
1
2
1
11()
11
n i
i X
X E
n n =-=--∑,同理2
2
1
22()
11
n i
i Y Y E
n n =-=--∑,所以原式=2σ。

例7. 设n
X X X ,,,21Λ)2(>n 为来自总体),0(2σN 的简单随机样本, X 是样本均值,记
X X Y i i -=,n i ,,2,1Λ= 。

求:
(1). i Y 的方差i DY ,n i ,,2,1Λ= ; (2). ),(1n Y Y Cov ; (3) }0{1≤+n Y Y P 。

(4)若2
1)(n Y Y c +是2
σ的无偏估计,求c 的值。

解:
(1)i DY )(X X D i -=(i X n
)1
1(-Θ与∑≠=n i k k k X n ,11独立) ]1)11[(,1∑≠=--=n i k k k i X n X n D 2
22221)1(1)11(σσσn n n n
n -=-+-=,n i ,,2,1Λ= 。

(2) 0)(11
=-==X X E EY EY n Θ,
1X Θ,n X 独立,)(1n X X E ∴01=⋅=n EX EX
而)
(X D ][
21n X X X D n Λ++=21
n
=)(1n DX DX ++Λ21σn =
=++=)}()()({1
)(121211n X X E X X E X E n X X E ΛΘ2211)(1σn
X E n =,
所以),(1n Y Y Cov )(X D =21σn -21σn -=2
1σn
-
(3)=+n Y Y 1)()(1X X X X n -+-∑-=--+-=1
2
1222n i i n X n X n n X n n 上式是相互独立的正态随机变量的线性组合,所以n Y Y +1服从正态分布,由于
,0)(1=+n Y Y E 所以5.0}0{1=≤+n Y Y P 。

(4)])([2
1n Y Y c E +)(1n Y Y cD +=)],(2[11n n Y Y Cov DY DY c ++=
2]211[
σn n n n n c --+-=2
)2(2σc n
n -=2σ=,故)2(2-=
n n c 。

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