6.2 数理统计中几 种常用的分布
一、
2
分布
二、t 分布 三、F分布
1
正态分布
定义: 设 X
N 0,1 即X的概率密度为 x2 1 x e 2, x 2
x2 2
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
1 P X z 2
PT t (n)
t分布的上 分位点图形如 右图.
t分布的上分位 点可以查附表4.

t ( n )
f (t )dt
的点t(n)为t分布的上分位点.
t t1
18
例2:设 T～t(8),且P{|T|≤x0}=0.95,试求x0 的值.
解:P{|T|>x0}=1- P{|T|≤x0}=1-0.95=0.05, P{|T|>x0}= P{T>x0}+ P{T<-x0} 由t分布的概率密度函数的对称性知 P{T>x0}=P{T<-x0}
6
一、
2

2
分布
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
X X2 L Xn
2 2 1 2
2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 记为
2 ~ 2 (n)
7
分布的密度函数为
[( n 1) 2] t f (t ) (1 ) n (n 2) n
2 n 1 2
, t
15
具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n) 0
n, D 2n
2
证：EX i 0, DX i 1,
2 i 4 i 2 2 i
X i ~ N (0,1)
EX i2 1,
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1,2,n
所以 E 2 E (
2

i 1 n i 1
n
X i2 )
2 Xi )

i 1 n i 1
n
EX i2 n.
2 DX i
D D(



2n.
10
4.应用中心极限定理可得，若 若 X ~ 2 (n) ，则当n充分大时， X n 2n 的分布近似正态分布N(0,1).
11
2 (n)
分布的密度函 数的图形如右 图.
12
χ 分布的分位点 对于(0,1)给定,称满足
P X 2.58 0.9951.
z0.005
3.) 同理可得
2.57 2.58 2.575 2
z0.001 3.01
5
一般, X与Y相互独立,且 X～N(1,12), Y～N(2,22) 则Z=X+Y仍然服从正态分布,且 X+Y～N(1+2,12+22), X-Y～N(1-2,12+22), 还可推广: 有限个相互独立的正态随机 变量的线性组合仍然服从正态分布
x
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
16
f (x) 0.5 n=10 n=4 n=1
-3
-2
-1
o
1
2
3
x
图 6－ 4
不难看到，当n充分大时，t 分布近 似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布 与N (0,1)分布相差很大.
17
t分布的分位点
T～t(n),对于(0,1)给定,称满足条件:
2
n y 1 1 n2 y2 e 2 f ( y ) 2 (n 2) 0
y0 y0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t 0 来定义.

t x 1
dt , x 0
8
由 分布的定义，不难得到：
2
1. 设 X1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 都服从正态分布 2 N ( , ), 则
2
1
2

2 2 ( X ) ~ ( n) i 2 i 1
n
2. 设 X 1 ~ (n1 ), X 2 ~ (n2 ),且X1,X2相互
2
独立，则 X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 )
这个性质叫 分布的可加性.
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
2 2 2 ~ ( n ) 3.如果 , 则E
2
条件: 的点χ

P ( n)
2 2



2
( n )
f ( x)dx
2
(n)为χ 2(n)分布的上分位点.
χ (n)分布 的上分位点 图形如右图.
χ2(n)分布的上分位点可以查 附表5.
2
13
例1:求
2 2 0 ( 10 ) ， )。 .05 0.1 (20
解：从附表5查得

2 0.05 2 0.1
(10) 18.307 ，
(20) 28.412 ，
14
二、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ (n) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
t (n). 记为T～
T的密度函数为：


z
e
dx
的点 z 为标准正态分布的上

分位点
2
注:①图中阴影部分的面积为 , 它是事件 X z
发生的概率.
②
Z Z1
3
例. 求
z0.05 ,
z0.005 ,
z0.001 ,
即:已知, 求z .
解: 设X～N(0,1)
1.) 因为
P X z0.05 1 P X z0.05 1 0.05 0.95.
于是得P{|T|>x0}= 2 P{T>x0}=0.05 即 P{T>x0}=0.025, x0 =t0.025(8).
查表得t0.025(8)=2.3060. 即 x0 =2.3060.
P X 1.64 0.9495.
P X 1.65 0.9505.
z0.05 1.64 1.65 1.645. 2
4
2.)
P X z0.005 1 PX z0.005 1 0.005 0.995.
查表得:
P X 2.57 0.9949.