第八章动态规划动态规划模型和求解方法(1)阶段．(2)状态．描述过程在第k阶段状态的变量，称为状态变量，用s k表示．s k取值的全体记作S k，称作第k阶段的状态集合．状态的定义在动态规划中往往是最重要的概念．它必须具备3个特性：①描述性．各阶段状态的演变能描述决策过程．②无后效性．如果第k阶段的状态给定，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各个阶段状态的影响．也就是说，过程未来的发展，只与过程的现在状态有关，而与过程的过去状态无关．③阶段状态变量的取值，直接或间接是可知的，也就是说，第k阶段的状态集合S k是给定的．(3)决策．当第k阶段的状态s k给定后，从该状态演变为第k+1阶段状态时所作的选择称为决策．描述决策的变量称为决策变量，用x k(s k)表示，简记为x k．x k(s k)取值的全体记为D k(s k)，称为第k阶段的决策集合，s k取值不同，相应的决策集合也可能不同．(4)策略．{ x1(s1)，x2(s2)…，x N(s N)}称为策略．(5)状态转移方程．第k+1阶段的状态s k+l 与第k阶段的状态s k、决策x k之间有函数关系s k+l =T k (s k，x k)，并称其为状态转移方程．(6)权函数．在第k阶段，当状态取定s k、决策取定x k时，该阶段所实现的效益指标(例如距离、时耗、利润、成本等)称为权函数，(7)指标函数．若第k阶段的状态为s k，当采用了最优子策略{ x*k，x*k+1，…，x*N}后，从阶段k到阶段N可获得的效益，称为指标函数，记为f k (s k)．实现f k (s k) 值的x k记为x*k．(8)递归方程．称下列方程为递归方程：f N+1 (s N+1) =0或1，f k(s k)=)}()(),({11)(++∈⨯+kkkkkSDxsfxswoptKK，k=N，N一1， (1)其中，符号opt视问题性质可取面min或max，同时，当符号⊙取加法运算时，取f N+1 (s N+1) =0；当符号⊙取乘法运算时，取f N+1 (s N+1) =1．由于用递归方程和状态转移方程求解动态规划的过程，是由第N阶段向前递归至第1阶段，故这种方法称为逆序解法．综上所述，如果一个问题能用动态规划方法求解，那么，我们可以按下列步骤建立动态规划的数学模型：①划分阶段，并正确地定义各阶段状态变量使之具有描述性、无后效性和可知性3个特性，同时确定状态集合；②定义决策变量，确定决策集合：③确定权函数；④建立状态转移方程；⑤确定指标函数；⑥建立递归方程．由状态转移方程和递归方程，用逆序解法对动态规划模型求解，在求得，f1(s1)和x*1后，则按顺序追踪方法寻找最优策略。

例8-2(投资问题)现有资金5百万元，可对3个项目进行投资，投资额均为整数（单位为百万元）．假设2#项目的投资不得超过3百万元，1#和3#项目的投资均不得超过4百万元，3#项目至少要投资1百万元．投资5年后每个项目预计可获得的收益由下表给出。

问如何投资可获得最大的收益．解：本问题是一个静态问题，但可以把它转化成动态问题：将这个投资问题分成3个阶段，在第k阶段要对项目k#进行投资决策．令s k——对k#，…，3#项目允许的投资额；x k——对k#项目的投资额；w(s k，x k)——对k#项目投资x k后的收益：w(s k，x k)= w k（x k）；T k (s k，x k)——s k+l= s k - x k；f k (s k )——当第k 至第3项目允许的投资额为s k 时所能获得的最大收益．为了获得最大收益，必须将5百万元资金全部用于投资．故假想有第4阶段存在时必有s 4= 0．对于本问题，有下列递归方程：{}4411()()0()max ()(),3,2,1k k k k kk k k k x D s f s f s w x f s k ++∈=⎧⎪⎨=+=⎪⎩第一步 K=3第二步K=2第三步K=1s1=5 s2=4 s3=2 x1*=1 x2*=2 x3*=2 f1(5)=21（最优分配问题）有一个仪表公司打算向它的3个营业区设立6家销售店。

每个营业区至少设一家，所获利润如表。

问设立的6家销售店数应如何分配，可使总利润最大？解：s k——对k#,…,3#营业区允许设立的销售店数x k——对k#营业区设立的销售店数w k (s k,x k)——对k#营业区设立x k销售店后的利润：w k (s k,,x k)= w k (x k)T k (s k, x k)——s k +1= s k - x kf k(s k)——当第k至第3个营业区允许设立的销售店数为s k时所能获得的最大利润递归方程：f4(s4)=0f k (s k)=max ｛w k (x k)+ f k+1(s k+1)｝, k=3,2,1x k↔D k(s k)第一步：k=3时，有方程f4 (s4)=0f3(s3)= max ｛w3(x3)+ f4(s4) ｝x3↔D3(s3)s3=s2—x2第二步：k=2,有方程f2(s2)= max ｛w2(x2)+ f3(s3) ｝x2↔D2(s2)s3=s2—x2-第三步：k=1,有方程f1(s1)= max ｛w1(x1)+ f2(s2) ｝x1↔D1(s1)s2=s1—x1s1=6 →s2=3 →s3=2↓↓↓x1*=3 x2*=1 x3*=2分别A1、A2、A3营业区设立3家、1家、2家销售店，最大利润为770例8-7(可靠性问题)某种仪表由3种不同的元件串联而成，任一个元件的故障将造成整台仪表的故障．每种元件又都有3种规格，设k#元件j#规格的可靠性为R kj，所需费用为C kj．生产每台仪表的费用限额E为10．试问如何选用各种元件的规格，使得仪表的可靠性最大?我们把这个问题分成3个阶段．在第k阶段要确定k#元件的规格．下面我们用逆序解法求解．s k——仪表上配备k #，…，3#元件时允许使用的费用；s3——仪表上配备3#元件时允许使用的费用；s2——仪表上配备2#, 3#元件时允许使用的费用；s1——仪表上配备1 #，2 #，3#元件时允许使用的费用；x k——k#元件所选用的规格；w k(s k，x k)——k#元件采用规格x k#时的可靠性：w k(s k，x k)=R k x k；T k (s k，x k)——s k+l= s k - C k x k；f k(s k)——在费用限额为s k的条件下，k #， (3)元件串联时相应部分可获得的最大可靠性．递归方程为：f4(s4)=1f k(s k)=)}(),({11)(m ax++∈∙kkkkkSDxsfxswKK，k=3，2，，1。

第一步，k=3，将上表简化：第二步，k=2，f(s2)的计算过程如表所示．将上表简化：第三步，对k=1S1=10 →S2=5 →S3=5 ↓↓↓x*1=3 x*2=1 x*3=2请用动态规划方法求解：max f = x1x2x3s．t．a1x1+ a2x2+a3x3=x1 + 2x2+ x3≤5x1>0，x2>0，x3>0，整数。

设s k：a k x k+---+a3x3的允许值x k：第k阶段x k的取值w k(s k,x k)：w k(s k,x k)= x kT k (s k，x k)：s k+1=s k-a k x kF k(s k):在a k x k+---+a3x3≤s k的条件下，x k---x3能获得的最大值递归方程f4(s4)=1f k(s k)= Max{ x k·f(s k+1) } k=3,2,1 第一步：第二步：第三步：（2分）123123123123T T5421,1,25312,1,1X*112X*211*2s s s x x x s s s x x x f ******∴=→=→=⇒====→=→=⇒===∴或最优解＝（，，）或＝（，，）＝二、加工某产品分别要通过1#、2#、3#三种机器，这些机器的偶然故障，将会影响产品的质量。

但是次品要在生产过程终了时才能检查发觉。

由统计资料知道，这三种机器加工产品的合格率分别为0.7, 0.6, 0.8。

现在管理部门准备再投资5万元来提高产品的合格率。

问如何使用这5万元，使产品合格率最高？解：s k——对k#，…，3#机器允许的投资额；x k——对k#机器的投资额；w(s k，x k)——对k#机器投资x k后的收益：w(s k，x k)= w k（x k）；T k (s k，x k)——s k+l= s k - x k；f k (s k )——当第k #至第3#机器允许的投资额为s k 时所能获得的最大收益．递归方程：{}4411()()1()max ()(),3,2,1k k k k k k k k k x D s f s f s w x f s k ++∈=⎧⎪⎨=∙=⎪⎩第一步：k=3第二步：k=2第三步：k=10.567 0.612 0.612 0.552S1=5 →S2=4 →S3=1↓↓↓x*1=1 x*2=3 x*3=1S1=5 →S2=3 →S3=0↓↓↓x*1=2 x*2=3 x*3=0。