m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S(x) e0.04x , x 0
求： (1) 10 Ax (2)Var(zt )
假定：(x)岁的人，保额1元终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
0.422
(2)
Var(zt )2
v20
10
p30
1
A30:10
2
0.0185
Var(zt )3
Var ( zt
)1
Var ( zt
)2
2A1 30:10
1
A30:10
0.0431
6、延期m年n年定期两全保险
定义
被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第 m+1年开始为期n年的定期两全保险
一年递增m次
现值随机变量
zt
[mt 1] vt m
趸缴保费厘定
(I (m) A)x
E(zt )
0
[mt 1] vt m
t
px
xtdt
mk s
k 1
m s 1
mk m
s
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递增无穷次（连续递增）
如被保险人在时刻T时死亡，则在死亡时立 即给付保险金T元
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) 2Cov(z1, z2 )
Var(z1) Var(z2 ) 2E(z1 z2 ) 2E(z1) E(z2 )
因为
z1 z2 0
所以
Var ( z3 )
Var
(
z1
)
Var
(
z2
)
2A1 x:n
1
Ax:n
例4.3.4（例4.3.1续）
设
S(x) 1 x 100
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
zt
btvt
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2
n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2 ) Ax:n Ax:n Ax:n
现值随机变量方差
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
1
m Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 ) 2m
A1 x:n
现值随机变量
zt tvt
趸缴保费厘定
(IA)x E(zt ) tvt t px xtdt
0
8、递减定期寿险
定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种 特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递 减函数
特别： 一年递减一次 一年递减m次
一年递减无穷次（连续递减）
一年递减一次
现值随机变量 趸缴保费厘定
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
E(zt )
n 0
n
mt m
vt
t
px
xt
dt
mk s
n k 1
m s 1
n
s 1 m
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递减无穷次（连续递减）
现值随机变量
(n t)vt , t n zt 0 , t n
假定：(x)岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
px xt dt
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax:n
厘定
1
A m x:n
n et
0
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
en 2t
0
fT
(t )dt
E ( zt
)2
记
2 A1 x:n
e n 2t
0
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
V
ar(
zt
)2A1 x:n
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
例4.3.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+2/m元， 。。。。。。
x
即剩余寿 命的分布
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
函数tqx 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
s(x) s(x t)
G(t) 1 t px
s(x)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s(x)
t)
s(x t)xt
s(x)
t px xt
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t m
1 , t m bt 0 , t m
0
70 70 ln 1.1
0.092
（2）V
ar(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0