dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
特点 不显含未知函数y. 解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5-习题课（57） 15
( 3)
特点 解法
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
பைடு நூலகம்
令 y P ( x ),
dp y P , dy
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
5-习题课（57） 10
注意： 全微分方程
P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
0 0
5-习题课（57） 6
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57） 7
1 1 1 1 x y 可选用积分因子 , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等. 2 x y x x y x y y x
5-习题课（57） 14
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y ) 型
x
y
Q( x , y )dy P ( x , y0 )d x ,
y0 x0
y
x
通解为
u( x , y ) c .
用直接凑全微分的方法.
5-习题课（57） 11
(7) 可化为全微分方程
形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
P Q 非全微分方程 ( ). y x
若 ( x , y ) 0 连续可微函数，且可使方程
( x , y ) P ( x , y )dx ( x , y )Q( x , y )dy 0 成为全 微分方程.则称 ( x , y ) 为方程的积分因子.
5-习题课（57）
12
公式法:
1 P Q 若 ( ) f ( x) Q y x 1 Q P 若 ( ) g( y ) P x y
P ( x ) dx P ( x ) dx y [ Q( x )e dx C ]e
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy n 形如 P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
5-习题课（57）
4
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
xdy ydx y d arctg 2 2 x x y
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 2 2 d ln( x y ) 2 2 x y 2
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
一、主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
观察法:
f ( x ) dx 则 ( x) e ;
g ( y ) dy 则 ( y) e .
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
5-习题课（57）
13
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d 2 x x
(4) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
5-习题课（57） 8
非齐次微分方程的通解为
5-习题课（57） 9
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y 1 n z e
1 n
,
( 1 n ) P ( x ) dx
( 1 n ) P ( x ) dx ( Q( x )(1 n)e dx c ).
(6) 全微分方程 形如
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
7.伯努利方程
特解形式
5-习题课（57）
欧拉方程
2
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
5-习题课（57） 3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最