习题88-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位比A 点落后6π，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。

解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 2612=∆=-=∆，πϕϕϕ，而m 242=⇒∆=∆λλπϕx ，m/s 12==Tu λ8-2．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为)cos(ϕω+=t A y ，波速为u ，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x y A t uωϕ=-+（），则P 点的振动式为：10cos[]P x y A t uωϕ=-+（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ωϕ=+比较， 有：10x uωϕϕ=+，∴平面波的波动式为：1cos[()]x x y A t uωϕ-=-+；（2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：0cos[]xy A t u ωϕ=++（），则P 点的振动式为：10cos[]P x y A t uωϕ=++（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ωϕ=+比较， 有：10x u ωϕϕ=-+，∴平面波的波动式为：1cos[()]x x y A t uωϕ-=++。

8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πνϕ=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；（2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式为：0cos[2]xy A t uπνϕ=++（），则A 点的振动式：0cos[2]A ly A t uπνϕ-=++（） 题设A 点的振动式cos(2)y A t πνϕ=+比较，有：02luπνϕϕ=+，∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[ϕπν+++=）（ux u lt A y （2）B 点的振动表达式可直接将坐标x d l =-，代入波动方程：]2cos[]2cos[ϕπνϕπν++=+-++=）（）（ud t A u l d u l t A y8-4．已知一沿x 正方向传播的平面余弦波，s 31=t 时的波形如图所示，且周期T 为s 2。

（1）写出O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A 点的振动表达式； （4）写出A 点离O 点的距离。

解：由图可知：0.1A m =，0.4m λ=，而2T s =，则：/0.2/u T m s λ==，2T πωπ==，25k ππλ==，∴波动方程为：00.1cos(5)y t x ππϕ=-+ O 点的振动方程可写成：00.1cos()O y t πϕ=+由图形可知：s 31=t 时：0.05O y =，有：00.050.1cos()3πϕ=+考虑到此时0O d y d t <，∴03πϕ=，53π（舍去） 那么：（1）O 点的振动表达式：0.1cos()3O y t ππ=+；（2）波动方程为：0.1cos(5)3y t x πππ=-+；（3）设A 点的振动表达式为：0.1cos()A A y t πϕ=+ 由图形可知：s 31=t 时：0A y =，有：cos()03A πϕ+=考虑到此时0A d y d t >，∴56A πϕ=-（或76A πϕ=） ∴A点的振动表达式：50.1cos()6A y t ππ=-，或70.1cos()6A y t ππ=+； （4）将A 点的坐标代入波动方程，可得到A 的振动方程为：0.1cos(5)3A A y t x πππ=-+，与（3）求得的A 点的振动表达式比较，有：5563A t t x πππππ-=-+，所以：m x A 233.0307== 。

8-5．一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。

已知原点的振动曲线如图所示。

试写出：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；（3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。

解：这是一个振动图像！由图可知A =，设原点处的振动方程为：30510cos()O y t ωϕ-=⨯+。

（1）当0t =时，302.510Ot y -==⨯，考虑到：0Ot d y d t=>，有：03πϕ=-，当1t =时，10O t y ==，考虑到：10Ot d y d t=<，有：32ππω-=，56πω=， ∴原点的振动表达式：35510cos()63O y t ππ-=⨯-； （2）沿x 轴负方向传播，设波动表达式：35510cos()63y t k x ππ-=⨯+- 而512460.825k uωππ==⨯=，∴3524510cos()6253y t x πππ-=⨯+-； （3）位相差：252 3.2724x k x rad ϕππλ∆∆==∆== 。

8-6．一正弦形式空气波沿直径为cm 14的圆柱形管行进，波的平均强度为39.010-⨯/()J s m ⋅，频率为Hz 300，波速为m/s 300。

问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量解：（1）已知波的平均强度为：39.010I -=⨯/()J s m ⋅，由I w u =⋅ 有：3539.010310/300I w J m u --⨯===⨯53max 2610/w w J m -==⨯；（2）由W w V =⋅，∴221144uW w d w d πλπν=⋅=5327310/(0.14)1 4.62104J m m m J π--=⨯⨯⋅⋅=⨯ 。

8-7．一弹性波在媒质中传播的速度310/u m s =，振幅41.010A m -=⨯，频率310Hz ν=。

若该媒质的密度为3800/kg m ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量。

解：（1）由：2212I u A ρω=，有：34232110800102102I π-=⨯⨯⨯⨯（）（）521.5810/W m =⨯； （2）1分钟为60秒，通过面积24m 100.4-⨯=S 的总能量为：W I S t =5431.581041060 3.7910J -=⨯⨯⨯⨯=⨯ 。

8-8．1S 与2S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5λ=d ，2S 质点的振动比1S 超前2π，设1S 的振动方程为t TA y π2cos 10=，且媒质无吸收，（1）写出1S 与2S 之间的合成波动方程；（2）分别写出1S 与2S 左、右侧的合成波动方程。

解：（1）如图，以1S 为原点，有振动方程：t TA y π2cos10=， 则波源1S 在右侧产生的行波方程为：122cos()y A t x T ππλ=-， 由于2S 质点的振动比1S 超前2π，∴2S 的振动方程为202cos()2y A t T ππ=+， 设以1S 为原点，波源2S 在其左侧产生的行波方程为：222cos()y A t x T ππϕλ=++，由于波源2S 的坐标为5/4λ，代入可得振动方程：20225cos()4y A t T ππλϕλ=+⋅+，与202cos()2y A t T ππ=+比较，有：2ϕπ=-。

••1S x2S∴22222cos(2)cos()y A t x A t x T T πππππλλ=+-=+。

可见，在1S 与2S 之间的任一点x 处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：t Tx A y y y πλπ2cos2cos 221=+=，为驻波；（2）∵波源1S 在左侧产生的行波方程为：122'cos()y A t x T ππλ=+， 与222cos()y A t x T ππλ=+叠加，有：1222'2cos y y y A t x T ππλ=+=+左（）； （3）设波源2S 在其右侧产生的行波方程为：222'cos(')y A t x T ππϕλ=-+， 代入波源2S 的坐标为5/4λ，可得振动方程：20225'cos(')4y A t T ππλϕλ=-⋅+， 与20202'cos()2y y A t T ππ==+比较，有：'3ϕπ=。

∴22222'cos(3)cos()y A t x A t x T T ππππππλλ=-+=-+。

与122cos()y A t x T ππλ=-叠加，有：12'0y y y =+=右。

表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

8-9．设1S 与2S 为两个相干波源，相距41波长，1S 比2S 的位相超前2π。

若两波在在1S 、2S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S 、2S 连线上在1S 外侧各点的合成波的强度如何又在2S 外侧各点的强度如何解：（1）如图，1S 、2S 连线上在1S∵212122()24r r πππλϕϕϕπλλ∆=---=--⋅=-∴两波反相，合成波强度为0；（2）如图，1S 、2S 连线上在2S 外侧， ∵212122('')()024r r πππλϕϕϕλλ∆=---=---=， ∴两波同相，合成波的振幅为2A ， 合成波的强度为：220(2)44I A A I === 。

8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt ）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D 伸入玻璃管，如图所示。

管中撒有软木S 2S ••1S 2S 'r屑，管的另一端有活塞P ，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。

若已知棒中纵波的频率ν，量度相邻波节间的平均距离d ，可求得管内气体中的声速u 。

试证：d u ν2=。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x λ∆=，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d ，所以：2d λ=，那么：2d λ=，所以波速为：2u d λνν== 。

8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。

S 为声源，D 为声音探测器，如耳或话筒。

路径SB D 的长度可以变化，但路径SAD 是固定的。

干涉仪内有空气，且知声音强度在B 的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B 距第一位置为cm 65.1的第二位置时，有极大值900单位。

求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。

解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x λ∆=，相邻波节与波腹的间距：4x λ∆=，可得：4 6.6x cm λ=∆=。

（1）声音的速度在空气中约为340m/s ，所以：234051516.610uHz νλ-===⨯（）。