第九章 静电场 (Electrostatic Field)二、计算题9.7 电荷为＋q 和－2q 的两个点电荷分别置于x ＝1 m 和x ＝－1 m 处．一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷0q 置于x 处所受合力为零，根据电力叠加原理可得()()()()022220000(2)(2)ˆˆ0041414141q q q q q q i i x x x x εεεε⋅-⋅-+=⇒+=π-π+π-π+即：2610(3x x x m -+=⇒=±。

因23-=x 点处于q 、－2q 两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得()223+=x m9.8 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如题图9.4所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ 处取微小电荷d q = λd l = 2Q d θ / π它在O 处产生场强θεεd 24d d 20220R QR q E π=π=按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202R QE E x π==θθεθd cos 2cos d d 202RQE E y π-=-= 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝02022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 所以j R Q j E i E E y x202επ-=+=9.9如图9.5所示，一电荷线密度为λ的无限长带电直导线垂直纸面通过A 点；附近有一电量为Q 的均匀带电球体，其球心位于O 点。

AOP ∆是边长为a 的等边三角形。

已知P 处场强方向垂直于OP ，求:λ和Q 间的关系。

解：如图建立坐标系。

根据题意可知02000cos 60042x Q E a aλπεπε=⇒+=∑ Q a λ⇒=-9.10 如题图9.6所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．解：电荷面密度为σ：E =σ / (2ε0)。

以图中O 点为圆心，取半径为r →r ＋d r 的环形面积，其电量为d q = σ2πr d r 。

它在距离平面为a 的一点处产生的场强()3/2220d 2ardrE a rσε⋅=+则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为()⎰+=Rr arr a E 02/322d 2εσ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22012R a a εσ 由题意,令E =σ / (4ε0)，得到R ＝a 39.11 如题图9.7所示,一均匀带电直导线长为d ，电荷线密度为λ+。

过导线中点O 作一半径为R （2d R >）的球面S ，P 为带电直导线的延长线与球面S 的交点。

求： （1）、通过该球面的电场强度通量E Φ。

（2）、P 处电场强度的大小和方向。

解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：intE q dλεεΦ==。

（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。

在带电导线上坐标为x 处取长度为dx 的带电元，其所带电荷量为dq dx λ=，dq 在p 点产生的电场强度为：2200ˆˆ4()4()dq dx dE i i R x R x λπεπε==-- 则p 点的电场强度为222222200ˆˆ4()(4)d d d d dxd E dE i iR x R d λλπεπε--===--⎰⎰9.12 题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：E x ＝bx ，E y ＝0, E z ＝0。

高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )解：设闭合面内包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：1122120,()QE S E S S S S ε-+===则202102103120()()(2)8.8510Q S E E Sb x x a b a a a b Cεεεε-=-=-=-==⨯9.13 体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为a 、b ，电荷体密度为r A =ρ，在球心处有一点电荷Q 。

证明：当)2(2a Q A π=时，球壳区域内电场强度E的大小与半径r无关。

证：用高斯定理求球壳内场强： ()02/d 4d ερ⎰⎰+=π⋅=⋅VSV Q r E S E ,而⎰⎰⎰π=π⋅=r ra v r r A r r r A V 02d 4d 4d ρ()222a r A -π= ()2220202414a r A r r Q E -π⋅π+π=εε202020224rAa A r Q E εεε-+π=要使E的大小与r 无关，则应有 ：2420220=-πr Aa r Q εε， 即22a Q A π=9.14 如题图9.10所示，一厚为b 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为kx =ρ (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求：(1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P 处的电场强度；(3) 场强为零的点在何处？解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．按高斯定理int0E ds qε⋅=⎰⎰，即：图9.922d d 12εερεkSb x x kSx S SE bb===⎰⎰得到：24kb E ε=， (板外两侧) (2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有：()022εεkSb xdx kSS E E x==+'⎰得到：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='22220b x k E ε (0≤x ≤b ) (3) E '=0，必须是0222=-b x ， 可得 2/b x =9.15 一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r 的一个小球体,球心为O ',两球心间距离d O O =',如题图9.11所示。

求：(1) 在球形空腔内,球心O '处的电场强度0E；(2) 在球体内P 点处的电场强度E。

设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：挖去电荷体密度为ρ 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E，而另在挖去处放上电荷体密度为－ρ的同样大小的球体，求出电场2E，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即：210E E E +=在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，则可求出O '与P 处场强的大小。

231101443E ds E d d ρεπ⋅=⋅π=⋅⎰⎰得：11103O P E E E d ρε===方向分别如图所示。

在图(b)中，以O '点为小球体的球心，可知在O '点E 2=0. 又以O ' 为心，2d 为半径作球面为高斯面S ' 可求得P 点场强E 2P()232204(2)4()/3s E ds E d r ρε''⋅=⋅π=π-⎰⎰203212dr E Pερ-= (1) 求O '点的场强'O E. 由图(a)、(b)可得E O ’ = E 1O’ =03ερd， 方向如图(c)所示.(2)求P 点的场强P E.由图(a)、(b)可得⎪⎪⎭⎫⎛-=+=2302143d r d E E E PP P ερ 方向如(d)图所示.9.16 如题图9.12所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求：(1) 在它们的连线上电场强度0=E的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，x 轴沿两点电荷的连线．(1) 设0=E的点的坐标为x '，则()04342020=-'π-'π=i dx q i x q E εε 02222=-'+'d x d x解出：()d x 3121+-=' 另有一解()d x 13212-=''不符合题意，舍去．(2) 设坐标x 处U ＝0，则()x d q x q U -π-π=00434εε()0440=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--π=x d x x d qε 图(c)2O’=0图(b)得：4d x =9.17 一均匀静电场，电场强度1)600400-⋅+=m V j i E（，空间有两点)2,3(a 和)0,1(b ，（y x ,以米计）。

求b a ,两点之间的电势差ab U 。

解：空间某点的位矢表示为ˆˆr xiyj =+，则 ˆˆˆˆ(400600)()b bab a b aaU V V E dr i j idx jdy =-=⋅=+⋅+⎰⎰1032(400600)4006002000()b adx dy dx dy V =+=+=-⎰⎰⎰9.18 题图9.13所示，为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为）（ax -=0λρ，0λ为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷d q =λ0 (x －a )d x 。

它在O 点产生的电势()xxa x U 004d d ελπ-=O 点总电势：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π==⎰⎰⎰++l a a la a x x a x dU U d d 400ελ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=a l a a l ln 400ελ9.19 题图9.14所示，电荷q 均匀分布在长为2l 的细杆上。

求 （1）、在杆外延长线上与杆端距离为a 的P 点的电势(设无穷远处为电势零点)。

（2）、杆的中垂线上与杆中心距离为a 的P 点的电势。

(设无穷远处为电势零点)．解：（1）设坐标原点位于杆中心O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示．PaO 2l x d x细杆的电荷线密度λ＝q / (2l )，在x 处取电荷元d q = λd x ＝q d x / (2l )，它在P 点产生的电势为()()x a l l xq x a l q U P -+π=-+π=008d 4d d εε整个杆上电荷在P 点产生的电势：()⎰--+π=ll P x a l x lq U d 80ε()l lx a l l q --+π-=ln 80ε⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=a l l q 21ln 80ε（2.杆的电荷线密度λ=q / (2l )．在x 处取电荷元d q ．d q = l d x = q d x / (2l ) 它在P 点产生的电势2202208d 4d d xa l x q xa q U P +π=+π=εε整个杆上电荷产生的电势：⎰-+π=llP x a xlqU 220d 8ε()llx a x l q -++π=220ln 8ε2220ln 8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++π=a l a l l qε⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++π=a l a l l q220ln 4ε9.20 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷．解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为204r QE επ=(R 1＜r ＜R 2） 两球的电势差：⎰⎰π==212120124d R R R R r dr Q r E U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=21114R R Q ε∴ 12122104R R U R R Q -π=ε＝2.14×10-9 C9.21 电荷以相同的面密度分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V ． ［0ε＝8.85×10-12 C 2 /(N·m 2)］ (1) 求电荷面密度σ．(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=22110041r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ππ=22212104441rr r r σσε()210r r +=εσ2100r r U +=εσ＝8.85×10-9 C / m 2(2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有：()2101r r U σσε'+='= 0 即 ：σσ21r r -=' 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π='-π='212222144r r r r q σσσ ()20021244r U r r r εσπ=+π=＝6.67×10-9 C9.22如题图9.15所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为r 0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．解：设x 轴沿细线方向，原点在球心处，在x 处取线元d x ，其上电荷为x q d d λ='，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：204q dxdF x λπε=整个细线所受电场力为：()l r r l q x x q F l r r +π=π=⎰+000204d 400ελελ，方向沿x 正方向．x电荷元在球面电荷电场中具有电势能：04q dxdW xλπε=整个线电荷在电场中具有电势能：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=π=⎰+0000ln 4d 400r l r q x x q W l r r ελελ9.23一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3 m 的同轴圆筒形阳极B ，如题图9.16所示．阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e ＝1.6×10-19 C)解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有：2rE λπε=即两极间的电场强度可表示为：02E rλπε=， (R 1＜r ＜R 2)， E 的方向沿半径指向轴线．两极之间电势差⎰⎰π-=⋅=-21d 2d 0R R B A B A rr r E U U ελ120ln 2R R ελπ-=()120/ln 2R R U U A B -=πελ所以，两极间的电场强度为：()rR R U U E A B 1/ln 12⋅-=在阴极表面处电子受电场力的大小为()()12111ln /B A U U F eE R eR R R -==⋅＝4.37×10-14 N方向沿半径指向阳极．9.24 题图9.17为一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．解：设内球壳带电量为q ，则根据高斯定理可得出两球壳之间间半径为r 的同心球面上各点电场强度的大小为204q E r πε=内外导体间的电势差：011()4baqU E dr a bπε=⋅=-⎰ 当内外导体间电势差U 为已知时，内球壳上所带电荷即可求出为：4abUq b aεπ=-内球表面附近的电场强度大小为：()24q bUE a a b a ε==π-欲求内球表面的最小场强，令0dEda=，则()()011d d 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a b a a b a bU a E 得到：2ba = 并有0d d 2/22>=b a a E可知这时有最小电场强度：()bUa b a bU E 4min =-=9.25 题图9.18所示，一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为：Ar =ρ (r ≤R )，式中A 为常量．求：(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；(2) 选与圆柱轴线的距离为l (l ＞R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．解：(1) 取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E 并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：2sE ds rhE ⋅=π⎰⎰为求高斯面内的电荷，r R ≤时，取一半径为r '，厚d r '、高h 的圆筒，其电荷为：r r Ah V ''π=d 2d 2ρ则包围在高斯面内的总电荷为3/2d 2d 302Ahr r r Ah V rVπ=''π=⎰⎰ρ由高斯定理得： ()033/22εAhr rhE π=π解出：()023/εAr E = (r ≤R )r R >时，包围在高斯面内总电荷为：3/2d 2d 302AhR r r Ah V RVπ=''π=⎰⎰ρ由高斯定理：()033/22εAhR rhE π=π解出：()r AR E 033/ε= (r >R )(2) 计算电势分布当r R ≤时：⎰⎰⎰⋅+==l R Rrl rr rAR r r A r E U d 3d 3d 0320εε ()Rl AR r R A ln 3903330εε+-=当r ＞R 时 ：rlAR r r AR r E U lrl rln 3d 3d 0303εε=⋅==⎰⎰9.26已知某静电场的电势函数x y x U ln 22++-= (SI)．求点(4，3，0)处的电场强度各分量值．解：由场强与电势梯度的关系式得x U E x ∂∂-==-1000 V/m ；0=∂∂-=y U E y ；0=∂∂-=zUE z9.27 如题图9.19所示，在电矩为e p的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离）移到B 点，求此过程中电场力所作的功。