解析 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0. ∴x＝1不是f(x)的极值点. 当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2) 则f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0， x在1的右边附近f′(x)>0， ∴f(x)在x＝1处取到极小值.故选C.
(2)若函数 f(x)＝a2x2－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间21，1内有极大值，则 a 的取
解析 由题意可知f′(x)＝3x2＋4x－a＝0有两个不等根，其中一个在(－1,1)上，
另一个不在该区间上.因为导函数 f′(x)的对称轴是 x＝－23， 所以只能是一根在－23，1上，另一根在(－∞，－1]上，
f′1＝7－a>0， 所以
解得－1≤a<7.
f′－1＝－1－a≤0，
思维升华
函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义 域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系 数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性.
此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.
②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8).
a.当 0<a≤89时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，
函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点.
b.当 a>89时，Δ>0，
设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，
跟踪训练1 (1)(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－ 1)k(k＝1,2)，则 A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
√C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
命题点2 求函数的极值 例2 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数， 并说明理由.
解 f′(x)＝ 1 ＋a(2x－1) x＋1
2ax2＋ax－a＋1
＝
(x>－1).
x＋1
令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞).
①当a＝0时，g(x)＝1，
即14a－2121a＋1＋2>0，
2
a－2a＋1＋2<0，
解得1<a<2，故选C.
师生共研
题型二 用导数求函数的最值
例4
已知函数

1－x f(x)＝ x ＋kln
x，k<1e，求函数
f(x)在1e，e上的最大值和最小值.
解 f′(x)＝－x－x21－x＋kx＝kxx－2 1. ①若 k＝0，则 f′(x)＝－x12在1e，e上恒有 f′(x)<0， 所以 f(x)在1e，e上单调递减. ②若 k≠0，则 f′(x)＝kxx－2 1＝kxx－2 1k. (ⅰ)若 k<0，则在1e，e上恒有kxx－2 1k<0.
所以当x<0时，g(x)<0且单调递减；
当x>0时，g(x)>0且在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以只需
2m>g(1)＝e，故
e m>2.
(2)(2018·金华十校期末考试)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在(－1,1)上恰有一 个极值点，则实数a的取值范围是__[－__1_,_7_)_.
③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0， 可得x1<－1<x2. 当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减. 所以函数有一个极值点. 综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；
当 0≤a≤89时，函数 f(x)无极值点； 当 a>98时，函数 f(x)有两个极值点.
命题点3 根据极值求参数 例3 (1)函数f(x)＝ex－mx2＋1在x＝0处的切线方程为__x_－__y＋__2_＝__0__，若函数f(x) 有两个极值点，则实数m的取值范围为__2e_，__＋__∞____.
√A.f(－2)与f(2)
C.f(2)与f(－2)
B.f(－1)与f(1) D.f(1)与f(－1)
解析 由图象知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<0时，f′(x)<0； 当0<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)在区间(－∞，－2)上为增函数，在区间(－2,2)上为减函数，在区间(2， ＋∞)上为增函数， 所以f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2).
第四章 §4.2 导数的应用
第2课时 导数与函数的极值、最值
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
多维探究
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值 例1 设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图 象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是
值范围是
A.1e，＋∞
B.(1，＋∞)
√C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析 f′(x)＝ax－(1＋2a)＋2x＝ax2－2ax＋1x＋2 (a>0，x>0)，若 f(x)在区间
12，1内有极大值， 即 f′(x)＝0 在12，1内有解，且 f′(x)在区间21，1内先大于 0，再小于 0，
则f′12>0， f′1<0，
因为 x1＋x2＝－12，所以 x1<－14，x2>－14. 由 g(－1)＝1>0，可得－1<x1<－14. 所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增. 因此函数有两个极值点.
解析 f′(x)＝ex－2mx，f′(0)＝1，f(0)＝2，
所以函数f(x)在x＝0处的切线方程为x－y＋2＝0.
由题意可知，f′(x)＝ex－2mx＝0有两个根，
即
2m＝exx有两个根.记
g(x)＝exx，则
exx－1 g′(x)＝ x2 ，
在(－∞，0)，(0,1)上，g′(x)<0，
在(1，＋∞)上，g′(x)>0.