上单调递减.
所以g(x)max=g
4 9

= 32
243
,所以t≥ 32
243
,即实数t的取值范围是 23423
,


.
1-2 (2015浙江名校(衢州二中)交流卷自选模块(四),03(2))已知函数f(x)=
aln x-ax-3,a∈R,若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线的倾斜角为45°,
若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时, f '(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减
函数,
当x∈(x1,x2)时, f '(x)>0,故f(x)在(x1,x2)上是增函数. (6分) ②当a>0,x>0时, f '(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时, f(x)在区间(1,2)上是增函
f
'(x)>0,
∴f(x)在 ,
1 3

上单调递增,在 13 ,1
上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴f(x)的极大值为f 13
= 4 +t,极小值为f(1)=t.
27

∵f(x)=x3-2x2+x+t在R上有三个零点,∴
f

1 3


0,
所以实数t的取值范围为- 247<t<0.
f (1) 0,
解得-2 47 <t<0.
(2)因为f(x)=x3-3ax,所以f '(x)=3x2-3a.
①若a≤0,则f '(x)≥0,即f(x)在[0,1]上单调递增,所以F(a)=f(1)=1-3a.
②若a>0,由f '(x)=0知x=± a .f(0)=0, f(1)=1-3a.
2、x3、x4, 当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数, 当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数, 则x=x1为极大值点, 同理,x=x3为极大值点, x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
2.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞)
(i)若0<a≤1,
0
(0, a )
a
( a ,1)
1
f '(x)
-
0
+
f(x)
0
单调递减
极小值
单调递增
1-3a
所以F(a)=max{f(0),
f(1)}=
1
3a

0

a

1 3

,
0
1 3

a

1.
(ii)若a>1,则f(x)在[0,1]上单调递减,
B. f(sin A)>f(cos B) D. f(sin A)<f(cos B)
答案 D 因为A,B为锐角三角形的内角,所以有0<A<2 ,0<B<2 ,0<π-A-B
< ,则有sin A,sin B,cos A,cos B∈(0,1), <A+B<π⇒0< -A<B< ,又y=cos
1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f ‘(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )
A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点
答案 C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x
函数.
(ii)由于a≠0,故当a<1时, f '(x)=0有两个根:
x1= 1
1 a a
,x2= 1
1 a a
.
若0<a<1,则当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时, f '(x)>0,
故f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数,
当x∈(x2,x1)时, f '(x)<0,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;
答案 A f '(x)=1 ln x ,当x>e时, f '(x)<0,则f(x)在(e,+∞)上为减函数,∴f
x2
(a)>f(b).故选A.
c
4.等差数列{an}中的a1、a4 027是函数f(x)= 13 x3-4x2+6x-1的极值点,则log2a2 014
= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.
当a<0时, a2 <0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在 ,
2 a

和(0,+∞)上为减函数,在
a2 ,
0

上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f a2
.
3
答案 - 17
3
解析 f '(x)=x2+2x-3,当f '(x)=0,x∈[0,2]时,只有x=1.比较f(0)=-4, f(1)=1-7 , f
3
(2)=- 10 可知最小值为- 17 .
c
3
3
利用导数研究函数的单调性 典例1 (1)(2014课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的 零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) (2)(2014大纲全国,21,12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). ①讨论f(x)的单调性; ②若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围. 答案 (1)C
2

x2-2x,则g'(x)=3x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,t∈[1,2],∴g'(x)在区间(t,3)上的值有正
有负.
又g‘(x)的图象是开口向上的抛物线,且g’(0)=-2,∴
g g
'(t) '(3)
0, 0.
g
由题意知,对于任意t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,所以g
2
2
2
2
x在区间 0, 2

上是单调递减的,所以1>cos 2
A

>cos
B>0⇒1>sin
A>cos
B>0,由f(x)的导函数图象可得到f(x)在区间(0,1)上是单调递减的,所以f(sin
A)<f(cos B),故选D.
6.函数f(x)= x3 +x2-3x-4在[0,2]上的最小值是
2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点处的函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)的各极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.
2-1 (2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. 解析 (1)当a=1时, f '(x)=6x2-12x+6,所以f '(2)=6. 又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
答案 A f '(x)=x2-8x+6,∴a1+a4 027=c8⇒a2 014=4⇒log2a2 014=2,选A.
5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则下列 不等式一定成立的是 ( )
A. f(sin A)>f(cos A) C. f(cos A)<f(cos B)
(b)如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,那么 f(x0)是极小值.
3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值; (2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f (x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值.
1.函数的单调性 对于在(a,b)内可导的函数f(x), f '(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0, 则
① f '(x)≥0 ⇒f(x)为增函数; ② f '(x)≤0 ⇒f(x)为减函数.
2.函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),
所以f '(x)=3x2-2x+t ≥0.
x
于是有t≥-3x3+2x2.
c
设g(x)=-3x3+2x2(x>0),
则g'(x)=-9x2+4x=-9x x
4 9

,
由g'(x)>0得0<x<4 ,由g'(x)<0得x>4 ,