如何用二分法确定函数的零点
函数y=f(x)的零点就是方程f (x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图像与x 轴交点的横坐标．因此求函数的零点有两种基本方法，一是求方程f(x)=0的实数根；二是方程的根不易求解时，将它与函数y=f (x)的图像联系起来，根据函数零点的性质并结合函数的性质找出零点，即数形结合的思想方法，此时，要构造合理的函数，利用函数的图像的交点来判断．函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，函数的零点（除原点）是成对出现的．二分法不适合不变号零点的情况．
例1．已知函数f(x)=x 3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（ ） A.（3,4) B.（2,3) C.（1,2） D. (0,1)
解析 利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间．由于f(0)＝-1<0，f(1)＝-1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23＞0, f(4)=59>0.根据选择之只有区间(1,2)满足．
答案C.
例2.函数f(x)=lnx-x
2
零点所在的大致区间是（ ） A.（1,2) B.（2,3) C.(1,e
1
)和(3,4) D.(e,+∞)
解析：用验证法.从已知的区间(a,b)求f(a)、f(b),判断是否有f(a).f(b)＜0. ∵f(1)=-2＜0,f(2)=ln2-1＜0,∴在(1,2)内f(x)无零点,故排除A. ∵f(3)=ln3-32＞1-
3
2
＞0∴f(2).f(3)＜0,∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点.故选B. 答案：B
点评: 确定零点所在区间，只要判断区间[a,b]的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0，并且看函数y=f(x)在[a,b]上是否是连续曲线．这里说“若f(a).f(b) <0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)=0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．
例3.用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点（精确到0.01）． 解：32()33f x x x x =+--22(1)3(1)(1)(3)x x x x x =+-+=+-
(1)(0x x x =+=，
∴函数的零点为1
-，
x =，23x =，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵(1)20f =-<，(2)10f =>，∴可取初始区间[1
2]，用二分法逐次计算． 由00
12n b a ε+->
，知121
21000.01
n +->
=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取中
点就能取得符合精确度要求的近似零点，列表如下：
∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．
于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．
点评: 二分法求零点的基本方法是：第一步取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步是取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，若1()0f x =，1x 就是所求零点，计算结束；若1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步对已确定的区间，重复第二步，直到达到规定的误差要求，计算结束．。