分形理论及其在材料科学中的应用Ξ郭从容　王雪松　杨桂琴　崔建中　严乐美　张万东(天津大学化学系　300072)摘要:分形是一门正处于迅速发展中的新学科,其影响范围和应用领域也在日益扩大。

本文简要介绍了分形的基本概念,以及分形应用于材料科学中的研究进展情况。

关键词:分形;自相似性;分形维数中图分类号:TN304 文献标识码:A 文章编号:1005-3077(1999)-01-0038-05The Fractal Theory and its Application in Material scienceG uo C ongrong　Wang Xues ong　Y ang G uiqin　Cui Jianzhong　Y an Lemei　Zhang Wandong(Deparment of Chemistry,Tianjin University,300072)Abstract:Fractal theory is a rapidly developing subject of science.Its influence range and application field are enlarging.In this paper,the concept of fractal was explained,and its application in material science was described.K ey w ords:fractals;self-similarity;fractal dimension1　分形理论简介 Fractal一词,源于拉丁文Fractus。

原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。

近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。

1.1　分形理论的提出 众所周知,普通的几何对象具有整数维数。

例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。

然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。

同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。

对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢?随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。

于是,在七十年代中期,分数维几何学(fractal geometry)应运而生[1]。

整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。

但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗(B.B.Mandelbrot),他在总结了Ξ收稿日期:1998-12-01自然界中的非规整几何图形之后[2],于1975年第一次提出分形这个概念。

此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来;直至1982年Mandelbrot出版了他的专著《The Fractal G eometry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3]。

曼德尔布罗有句“口头禅”:云不是球形的,山不是锥形的,海岸不是圆形的。

他认为:分形几何学可用来描述和计算复杂的、不规则的图形和运动轨道,是一个可用于研究许多物理现象的有力工具;并提出了连续空间的概念,即:空间维数的变化不是跳跃性的,而是逐渐地、连续地变化。

它们不仅仅具有整数的维数,也可能是分维的。

1.2　自相似性 分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。

自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。

简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。

形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义),而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。

自仿射性则是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以不同比例放大后,其形态与整体相同或相似。

而具有自相似性或自仿射性结构的体系就是分形体[4,5]。

例如:芦沟桥的狮子,大狮子上有小狮子,局部和整体都是狮子。

又如:硬币的背面是国徽的图案,国徽中有天安门城楼的图象,天安门上又有国徽,…,这种层层嵌套的图案,正是自相似性的典型例证。

事实上,自然界中的许多复杂现象和复杂图形背后,时常隐藏着一种无标度性,即从不同的尺度范围来看,局部与整体是自相似的。

这种体系到处可见,大到天体星系、变换不定的云彩,小到材料的裂纹、构件的断裂面、空气中的灰尘微粒,以及凝聚态物质的微观凝聚体等等,都具有尺度不同的多层次的形状和结构。

当你放大或缩小观察和测量的尺度时,形状和结构几乎不变。

可见,分形理论应用性研究的领域十分广阔,具有巨大的潜力。

1.3　分形体的数学构造 分形体是个其维数介于点、线、面之间的客体,具有分形特征的物体的维数往往是分数。

分形体不具有晶体几何的旋转对称和平移对称性,但具有其特有的标度对称、伸缩对称与自相似性。

分形体之间的差别在于标度的不同,而形状在不同尺度上是相同的[6]。

分形体的数学构造通常可分为以下四类:(1)Cantor棒分形;(2)Sierpinski四面体分形;(3)随机分形(又称不规则分形),如:渗流集团[7,8];(4)多重分形。

其中,多重分形[9]是定义在分形上的由多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合,是为处理复杂而非均匀系统与过程而由Halsey等人发展起来的。

这是因为简单分形不能完整而生动地刻画大自然的复杂性与多样性,它仅是一种近似的手段;用一个参数不足以描述它,需要引入一系列参数用以更详细地描述复杂分形及其生长过程的特点。

1.4　欧氏空间与非欧氏空间 从数学的观点来看,在分形中产生了从欧氏测度到豪斯道夫测度的转变,即产生了测度观的转变;在物理上则表现为量纲数的转变,而这正是分形理论的主要特征。

可以说,分形理论带来了一场由平直的欧氏时空观转变到弯曲的非欧氏时空观的革命浪潮。

经典几何学是以古希腊的欧几里得几何学为基础的逻辑体系,它是以规整几何图形作为研究对象的。

由其定义不难看出:对于欧氏空间,其维数只能是整数。

而所谓几何测量是指长度、面积与体积的测量。

欧氏几何中的测量问题可用如下的公式加以描述: 长度=l; 面积A=al2; 体积V=bl3; 其中,a与b均为常数,称为形状因子。

显然,长度、面积与体积的量纲数恰与其欧氏空间维数相等,并且均为整数;可以证明微积分的基本思想正是以欧氏几何作为基础的。

然而,对于象海岸线、断口表面、粒子表面等不规则图形,怎样计算其空间维数呢?是否仍可按上述方法进行测量呢?广义上讲,这类曲线都存在如下特征:曲线在全区间上连续,但是并不满足可微或逐段可微的条件。

显然,上述的测量方法已不适用,传统数学对此无能为力;而分形理论则给出分形维数,并给出下述的计算原则: (1)仍以正四方形或正六面体作为标准; (2)改用如下的量纲:长度L=l D1;面积A=l D2;体积V=l D3;式中,1<D1<2,2< D2<3,3<D3; (3)对每个小标准几何图形的几何量按上式进行构造后迭加,并取下确界。

不难看出:分形几何学的一个明显特征就是其维数不再是整数,即改变了长度、面积与体积的量纲数。

分形曲线共同的特点是:处处连续,但处处不光滑。

这与经典几何学把曲线均视为处处连续,或至少是分段分块光滑的情况形成了两个极端。

这是对客观物体的形状从两个相反的方向进行抽象的结果。

而现实世界中的物体形状则是介于这两个极端之间。

2　分形维数的求算 分形维数是描述物体形态及物理现象的重要参数,它包含着深刻的物理意义,可以用它来表示不同的分形结构[10]。

分形维数有多种不同的定义,例如:豪斯道夫维数、信息维数、关联维数、广义维数、相似维数等等。

而较为常用的是豪斯道夫维数的定义:即对于一个D 维的物体,若将它每一维的尺寸放大L倍,会得到N个原来的物体,则豪斯道夫(Hausdorff)维数D=ln N/ln L,可见D不一定是整数。

例如:把一个立方体的每一个面等分成九块,挖掉位于中间的一个小方块,再对剩下的小立方体作同样的操作(。

最后剩下的几何体,称谢尔宾斯基(Sierpinski)海棉。

其分形维数D=ln N/ln L=ln20/ln3=2.7768。

该全息体的特点是:体积趋近于零,而其表面却趋于无穷大,故其维数介于2与3之间。

它内部有无穷多个自相似体,任何一个分割后的图形都是原来图形的翻版。

目前,常用的测定分形维数的实验方法,主要有:(1)分形曲线长度公式法;(2)周长2面积关系法;(3)表面积-体积关系法;(4)Sandbox法。

此外,测定二维随机分形的分形维数,还有(5)面积2回转半径法;(6)密度2密度相关函数法。

事实上,在测定分形结构的分形维数时,其实验方法的取定是分形结构的特点来决定的。

也就是说,不同的实验方法适用于不同的对象。

作者在对群青微胶囊进行分形研究中,曾根据颜料粒子分形结构的具体特点而进一步发展了常规Sandbox法,暂称为“放大图象法”[11]。

3　分形理论应用举例 由于具有分形特性的物质可能具有某种特殊功能,这无疑会引起材料科学工作者的极大兴趣,从而促使他们去研究分形的物理和数学机制,探索无序系统内部隐含的某种规律,并用分形维数值去规范无序系统。

不少材料工作者已经在这方面做了许多有意义的尝试,并取得一些有价值的成果。

本文在此仅就近年来分形在材料科学中的应用作以简要的介绍。

3.1　固体材料断裂分形行为 在对固体材料断裂所产生的断口(或断纹)的研究中,人们发现其具有分维特性。

无论是纳米复合陶瓷仿生结构陶瓷[12],还是岩石材料,其断裂均可用分形维数来表征。

Mandelbrot[13]等报道了冲击断口的分形维数与冲击功的实验结果:随着分形维数的增加,冲击功单调下降。

以后的实验表明,冲击功与分形维数成反变化的关系。

根据分形维数,可以得到断裂韧性的理论上界。

Rosenfield认为,断裂力学实验应服从分形的要求。

3.2　无机材料中的分形 在无机材料微观结构上,分形概念可用于描述其结构特点及其他情况。

用小角中子散射(SANS)对铝硅酸盐气溶胶研究[14]发现其内部在较大尺度范围呈现自相似性。

对多晶材料晶界的不规则性进行研究则发现没有进行热处理的材料的晶粒的分形维数为1,而进行热处理的为1.225。

龙起易等通过研究测量含马氏体和剩余奥氏体的金相照片的谢宾斯基地毯分维,发现谢氏分维越大,剩余奥氏体面积随马氏体晶粒变小的速度越慢。