在重力P=mg的作用下
l0
弹簧变形为δst，称为静变形，该位置为平
衡位置。重力和弹簧力。
st
Fst kst
P mg
O
平衡时满足：
mgkst
st
mg k
x
取重物的平衡位置点O为坐标原点，取x轴的
正向铅直向下。受力如图 。
x
F st
mg
F P
弹簧力F： Fk(xst)
l0
由质点运动微分方程可列：
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。
（2）振幅与初位相 谐振振动表达式
xAsin nt()
A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （ωnt+θ）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的
位置，它具有角度的量纲，而θ称为初相位，它决定了质点运
动的起始位置。
自由振动中的振幅A和初相位θ是两个待定常数，它们由运动
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t，其 运动规律x（t）总可以写为:
x（t）= x（t+T） T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。
考虑无阻尼自由振动微分方程
d2x dt2
n2
x
0
解为：
xAsin nt()
角度周期为2π，则有:
[n (t T )] (n t) 2
它是振动系统的固有的特性，所以称ωn为固有圆频率。
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。
由
m Pg k P st
n
k m
n
g st
上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的 固有频率。
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率。
理论力学多媒体教材
第十章 振动
编 著 东北大学力学系 侯祥林 李永强 动 画 东北大学力学系 李永强 侯祥林 主 审 东北大学力学系 郭星辉 颜世英
第十章 振 动
第十章引言
§10-1 单自由度系统的自由振动 §10-2 计算固有频率的能量法
自由振动例题
§10-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
§10-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 §10-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动
解：1)取质量弹簧系统
物块于弹簧的自然位置A处碰上 弹簧。若物块平衡时，由于斜面 的影响，弹簧应有变形量:
0
mgsin
k
0
A
x
O
h
F
mg
FN
2）以物块平衡位置O为原
x
点，取x轴如图。
3）物块在任意位置x处受得力mg、 斜面约束力FN和弹性力F作用
4）物块沿x轴的运动微分方程为
md d22 xtmsgink(0x)
则自由振动的周期为：
T 2 n
T 2 n
可得： 其中
n
2 1
T
2f
f1 T
称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为ωn=2πf 所以ωn表示2π秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由
2 n
k m
n
k m
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与 运动的初始条件无关；
受迫振动例题
§10-6 转子的临界转速 §10-7 隔 振
第十章 振 动
振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、 电磁振荡、光的波动等不同的形式。
这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝 土振动捣实以至地震等。
特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。 掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而 减少振动的危害。 根据具体情况，振动系统可分为：
单自由度系统； 多自由度系统； 连续体系统。
这里只研究单自由度振动。
§10-1 单自由度系统的自由振动
1. 自由振动微分方程 工程中许多振动可简化为一个质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在
重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。 下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。
设弹簧原长为l0，刚性系数为k。
m d 2x k x dt2
l0
两端除以质量m，并设
2 n
k m
移项后得:
d2x dt2
n2
x
0
st O
x
无阻尼自由振动微分方程的标准形式
F
是一个二阶齐次线性常系数微分方程。 x
P
设： x ert
代入微分方程，消去ert 得特征方程： r2 n2 0 两个根为： r1 in r2 in
方程解表示为： xC 1con ts C 2sin n t
2 n
tan n x 0 v0
自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。
例1 质量为m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如图所
示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不
再分离。弹簧刚度k=0.8 kN/m，倾角ß=30°，求此系统振动的固
有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
0
mgsin
k
m
d2x dt2
k
xLeabharlann 0 Axh
表明斜面角β与物块运动微分方程无关。
O
F
固有频率
mg
FN
n
k m
0.810040r0a/ds 0.5
x
此系统的通解为 xAsin nt()
固有频率与斜面倾角β无关。
5）当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点，此时 物块的坐标即为初位移：
x 0 0 0 .5 0 .9 8 . 8 1 s0 3 in 0 0 3 .0 0 1 63 m 0
xC 1con ts C 2sin n t
C1和C2是积分常数，由运动 的起始条件确定。
设： A C12C22
tanC1
C2
则解为： xAsin nt()
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。
其运动图线为：
x
A x0
Ot n
l0
st O
x
x
F P
t T
x
2.无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
st
mdd22txPk(stx)
mgkst
O x
F
m d 2x k x dt2
x
P
表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正 比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。
在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标原点取 在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。
的初始条件确定。
设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和θ，
xAsin nt()
xAsin nt()
两端对时间t求一阶导数，得物块速度
vd dxtAncosnt()
将初始条件代入以上两式，得到
x0 Asin v0 An cos
得到振幅A和初相位θ的表达式为：
A
x2
v
2 0
0