由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
2. 三角函数族及期正交性 引入三角函数族
正交, 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 .
证:
l 1 cos k x d x l 1sin k x d x 0
l
l
l
l
l k x n x
l
l
x dx
π
bk sin
π
k
l
x
dx
1l
a0 l
f (x)d x
l
①乘 cos kx 在
l
逐项积分, 得
l f ( x)cos k x dx a0 l π cos k x dx
l
l
2 l
l
n1
an
π π
cos
k
l
x
cos
n
l
x
d
x
bn
l l
cos
k
l
x
sin
n
l
x
d
x
ak
l cos2 k x dx
l
l
(利用正交性)
ak
1 l
l
k x
f ( x)cos dx
l
l
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1 l
l f ( x)sin k x dxl来自l(k 1, 2,
)
f
(x)
a0 2
k 1
ak
cos k x
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和”
•
——傅里叶的第一个主要论点
在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的
偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程 ；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在
像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在 A中所求的解，而且是显式解．
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
cos cos dx
l
l
l
1 2
l l
cos(k
n)
x
l
cos(k
n)
x
l
d
x
0
同理可证 : l sink x sinn x dx 0
l
l
l
l cosk x sinn x dx 0
l
l
l
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
l
11dx 2l l
学习要求与内容提要
目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握期函数的傅里
叶展开、定义和性质；δ函数的
定义与性质。
重点：
函数的傅里叶展开、δ函数。
难点： δ函数的概念。
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．
例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换 化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能 够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积 分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求 解中成为重要的方法之一．
3
5
u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t)
3
5
7
u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin5t 1 sin7t )
3
5
(7 t , t 0)
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t, p) e pt（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a 0, b ，则
F( p) f (t)e ptdt 0
称函数 F( p) 为函数 f (t) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F( p) 为函数 f (t) 的拉氏变换．同时我们称 f (t) 为 F( p)
• “非周期信号都可用正弦信号的加
权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
（一） 周期函数的傅里叶展开 1.波的叠加原理
在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦
波),它是形如 Asint 的波,其中A是振幅,ω是角频
率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以
用一系列谐波的叠加表示出来.
（1）特别当核函数 K (t,) eit （注意已将积分参变
量 改写为变量 ），当 a , b ，则
F ( ) f (t)eitdt
称函数 F() 为函数 f (t) 的傅里叶（Fourier）变换， 简称 F () 为函数 f (t)的傅氏变换．同时我们称 f (t) 为F ()
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sint
u
4
(sint
1 sin 3t )
3
u
4
(sint
1 sin3t
1 sin 5t )
1 l
l l
f (x) cos k
l
xdx
(k 0,1, 2,
)
bk
1 l
l f (x)sin k x d x (k 1, 2,
l
l
)
②
称为函数 的傅里叶系数 ;
式 ① 称为
的傅里叶级数 .
证: 由条件, 对①在
逐项积分, 得
l
l
f
(x)d x
a0 2
l
d
l
x
k 1
l k
ak cos
积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面， 作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f (t)
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F ( ) f (t)K (t, ) d t
a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ), 这里 K (t, ) 是一个确 定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f (t) 的像函数或简称为像， f (t) 称为 F ( ) 的原函数．
l l
cos2
k
l
x
d
x
l
l sin2 k x dx l
l
l
cos2 k x 1 cos 2k x , sin2 k x 1 cos 2k x
2
2
3.周期函数的傅里叶展开 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,
则它的傅里叶展开式为
①
其中 式中
(在 f (x) 的连续点处)
ak