用直线公式计算
π 2 F = A⋅ σcr = (a − bλ) (D − d 2 ) = 155.5kN cr 4
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 1.压杆的分类 （1）大柔度杆
λ ≥ λp
π2EI F = cr (µl )2
（2）中柔度杆
σcr = a − bλ
（3）小柔度杆
λs ≤ λ < λp
λ ≤ λs
σcr = σs
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
即λ ≥ λp（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用 ）， 范围. 范围.
λp 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢， 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如，对于Q235钢
可取 E=206GPa，σp=200MPa，得 =206GPa， =200MPa，
Fcr π2EI σcr = = A (µl )2 A
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
F I π2 EI π2 E 2 π2 E 令 i= 则 σcr = cr = = ⋅i = 2 2 2 A A (µl) A (µl) (µl / i)
令
λ=
µl
i
则 σcr =
π2E
λ
2
Fcr = A⋅ σcr
材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 Q235钢 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界应力. 压杆的临界应力. 已知： E = 200 GPa， σp= 200 MPa ， σs = 240 MPa ，用直 GPa， 已知： 线公式时， MPa， 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
解：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度 ：（1
λp = π
压杆 µ = 1
E
σp
= 100
π(D4 − d4 ) I 1 64 i= D2 + d 2 = = A π(D2 − d 2 ) 4 4 µl 4µl λ= = ≥ λp =100 2 2
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. 压杆横截面对中性轴的惯性半径.
λ 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l 称为压杆的柔度 长细比），集中地反映了压杆的长度l 压杆的柔度（ ），集中地反映了压杆的长度
和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素 临界应力的影响. 和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. λ 等因素对 条件 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳. 越大， 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同， 计算在各平面内失稳时的柔度λ，并按较大者计算压杆的临界应 力 σcr
2.临界应力总图 2.临界应力总图
σcr
σcr = σs σ = a − bλ cr σs
σP
σcr =
π2E
λ
λs
λp
λ
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题1 例题1 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束， 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失
稳可视为两端固定， 轴失稳可视为两端铰支. 已知， 稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长 l=1m ，材料的弹性模量E=200GPa，σp=200MPa. 求压杆的临界 材料的弹性模量E=200GPa， =200MPa. 应力. 应力.
。
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 二、 欧拉公式的应用范围
只有在 范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 σcr ≤ σp 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的
临界压力 Fcr（临界应力 σcr ）.
σcr =
πE
2
λ
2
≤ σp
λ ≥ λp
λp = π
E
σp
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 一、临界应力和柔度
1. 欧拉公式临界应力 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平 计算. 衡时，横截面上的压应力可按 σ = F/A 计算. 衡时， 按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
i D +d
lmin
100 0.052 + 0.042 = = 1.6m 4×1
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l = lmin = 1.2m 4
λ=
µl
i
=
4µl D +d
2 2
= 75 < λp
a − σs 304 − 240 λs = = = 57 < λ b 1.12
λz =
µzl
iz
= 115
30mm
因为 λz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳，且 λz =115 > λp，用 轴先失稳， 欧拉公式计算临界力. 欧拉公式计算临界力.
Fcr = Aσcr = A⋅
π2E
λ
2 z
= 89.5kN
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
例题2 例题2 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， mm， 的钢管，两端铰支，
λp = π
E
σp
206 ×109 Pa = 3.14 ≈ 100 6 200 ×10 Pa
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 三. 中、小柔度杆的临界应力
直线公式 或 令
σcr = a − bλ ≤ σs
a − σs λ≥ b a −σs λs = b
式中： 是与材料有关的常数，可查表得出. 式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
z
解：
λp = π
E
σp
= 99
y
30mm 1 3 (0.03× 0.02 ) Iy iy = = 12 = 0.0058m A 0.03× 0.02
§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
Iz iz = = 0.0087m A
z y
µy = 0.5 µz = 1
λy = µyl
iy = 86