S
P

2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr

2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr

2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr

2E 2
P

例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
一、临界应力与压杆柔度
压杆处于临界状态时，将压杆的临界载荷除以横
截面面积 A，得到横截面上的应力，称为压杆的临界
应力，用 cr 表示。由公式知：
cr

Fcr A

2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr

2Ei2 (l)2

2E
(
l
i
)
2
cr

2E 2
按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。
1、直线型经验公式
cr a b
式中 为具体压杆的柔度，a﹑b为与材料的力学
性能有关的常数，单位为 MPa。表 7-2 中列出了几
种常用材料的 a、b 值。
表 7-2 几种常用材料的 a、b 的值

2E 12


2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2

l2
i

21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
60
铬钼钢
981 5.296 55
—
铸铁
332 1.454 80
—
硬铝
373 2.15 50
—
松木
28.7 0.19 59
—
cr a b
此经验公式的适用范围：对于塑性材料的压杆，要 求临界应力不超过压杆材料的屈服极限应力，以保 证压杆不会因强度不够而发生破坏。对塑性材料：
cr a b S
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr

2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
• 中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压
杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳
现象。
（3） S 的压杆，称为小柔度杆或短粗杆
应按强度问题处理
cr S
对绝大多数碳素
结构钢和优质碳素 结构钢来说，小柔
度杆的 在 0 ~ 60
之间。
cr S
cr (a b)
cr

2E 2
根据欧拉公式与抛
物线经验公式，得
低合金结构钢等压
杆的 cr 总图。
S

a
S
b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！
例：对于 Q235 钢：S 235 MPa ，a 304 MPa ， b 1.12 304 235 1.12

63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
cr3 S 235 MPa Fcr1 cr1A 235106 0.00785N 1845 kN
cr2 a b2 3041.1280MPa 214MPa
Fcr2 cr2 A 214106 0.00785N 1680 kN
（c）第三根压杆的临界载荷
3

l3
i

2 0.5 0.025

40
P 60
该杆为小柔度压杆，临界应力应选取屈服极限：
的临界载荷。
解：3 根杆相同的参数
P
E
P
100
2m 1m 0.5m
S

a S
b
61.6
A

d 2
4

0.00735 m2
(a)
(b)
(c)
i
I A

d 4

0.025
m
2
（a）第一根压杆的临界载荷
1

l1
i

22 0.025
160
P 100
cr1