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2.2 导热问题的数学描述
1.导热微分方程
依据：能量守恒和傅里叶定律。
假设： 1）物体由各向同性的连续介质组成；
•
2）有内热源，强度为 Φ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位 为W/m3。
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系，选取物体中的微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒，建立微元体的热平衡方程；
x = r sinθ ⋅ cosφ; y = r sinθ ⋅sin φ; z = r cosθ
ρc
∂t
∂τ
=
1 r2
∂ ∂r

λr2
∂t ∂r

+
1
r2 sinθ
∂
∂θ

λ
sinθ
∂t
∂θ

+
1
r2 sin2 θ
∂
∂φ

λ
∂t
∂φ

+Φ&
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2.导热微分方程式的定解条件
拉普拉斯方程。 ∇2 称为拉普拉斯算子。
（式5）
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圆柱坐标系下的导热微分方程式：
x = r cosϕ; y = r sin ϕ; z = z
ρc ∂t ∂τ
=
1 r
∂ ∂r

λr
∂t ∂r

+
1 r2
∂
∂φ

λ
∂t
∂φ

+
∂ ∂z

λ
∂t ∂z

+
Φ&
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球坐标系下的导热微分方程式
23
(3) 第三类边界条件 给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h。根
据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得:
−
λ
(
∂t ∂n
)
w
=
h(t w
−tf
)
第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流 换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。
上式描述的第三类边界条件是线性的, 所以也称为线性边界条件，反 映了导热问题的大部分实际情况。
（1）导热系数为常数
∂t = a( ∂2t + ∂2t + ∂2t ) + Φ&
∂τ ∂x2 ∂y2 ∂z2 ρc
（式2）
a= λ ρc 称为热扩散率或热扩散系数，其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温
度变化快慢，反映了导热过程中材料的导热能力（ λ ）与沿途物质储热能
力（ ρ c ）之间的关系.
a值大，即 λ 值大或 ρ c 值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，
导热系数数值的影响因素较多, 主要取决于物质的种类、物质结构 与物理状态, 此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。 其中温度对导热系数的影响尤为重要。
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纯金属的导热系数随温度的升高而减小；一般 合金和非金属的导热系数随温度的升高而增大。
温度对导热系数的影响
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保温材料（或称绝热材料）：
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物质的导热系数在数值上具有下述特点:
(1) 对于同一种物质, 固态的导热系数值最大,气态的导热系数值最小； (2) 一般金属的导热系数大于非金属的热导率； (3) 导电性能好的金属, 其导热性能也好； (4) 纯金属的导热系数大于它的合金； (5) 对于各向异性物体,导热系数的数值与方向有关； (6) 对于同一种物质, 晶体的导热系数要大于非定形态物体的热导率。
∂τ
t = f (x, y, z,τ )
b)随空间划分 一维稳态温度场：
t = f (x)
三维稳态温度场： t = f (x, y, z)
4
2.1 导热的基本概念与基本定律
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是等温线。如果 用一个平面和一组等温面相交, 就会得到一 组等温线。温度场可以用一组等温面或等温 线表示。
如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热, 则。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件.
本书只限于讨论具有线性边界条件的导热问题。
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综上所述, 对一个具体导热过程完整的数学描述（即导热 数学模型）应该包括： (1) 导热微分方程式; (2) 定解条件。
3）根据傅里叶定律和已知条件，对热平衡方程进行归纳、整理，最后得 出导热微分方程式。
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导热过程中微元体的热平衡： (a)
(b)
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对于微元体，按照能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关系：
导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流
量+微元体热力学能（即内能）的增量
(c)
国家标准规定，温度低于350℃时导热系数小于0.12W/(m⋅K)的材料称 为保温材料。
多孔材料
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔或纤维结 构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质,统称多孔材料。
多孔材料的导热系数随温度的升高而增大。 多孔材料的导热系数与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿度愈 大，热导率愈大。
第二章 稳态热传导
2.1 导热基本定律-傅里叶定律 2.2 导热问题的数学描述 2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.4 通过肋片的导热 2.5 具有内热源的一维导热问题 2.6 多维稳态导热的求解
1
本章研究方法：
从连续介质的假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流 量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系。
(d)
(e)
式中：ρ，c，τ分别表示微元体的密度，比热容和时间；
•
Φ ：单位时间内单位体积中内热源的生成热。
ρc ∂t = ∂ (λ ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) + ∂ (λ ∂t ) + Φ& ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
（式1）
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三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程的简化：
温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。
n--等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加方向。
6
2.1 导热的基本概念与基本定律
（4）热流密度
q = dΦ dA
热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q表示：
q = − dΦ n dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为：
等温面与等温线的特征： （1）同一时刻，物体中温度不同的等温面 或等温线不能相交； （2）在连续介质的假设条件下，等温面 （或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面 （或曲线），或者终止于物体的边界，不可
5
能在物体中中断。
2.1 导热的基本概念与基本定律
（3）温度梯度
温度沿某一方向x的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来
+
∂2t ∂z 2
)
（式3）
热物性参数为常数（常物性）、无内热源的三维非稳态导热微分方程。
（3）常物性，稳态
∂2t + ∂2t + ∂2t + Φ& = 0
∂x2 ∂y2 ∂z2 λ
（式4）
常物性、稳态、三维且有内热源问题的温度场控制方程。泊桑方程
（4）常物性，无内热源，稳态
∂2t + ∂2t + ∂2t = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2
x = 0,
x
=
δ
,
t = t1 t = t2
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中， 温度场可表示为：
t=f（x，y，z，τ）
t—为温度; x,y,z—为空间坐标; τ-时间坐标.
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温度场的分类：
a)随时间划分
稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。
∂t = 0
∂τ
t = f (x, y, z)
非稳态温度场：温度分布随时间改变。
∂t ≠ 0
（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于 极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热 过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等, 傅 里叶定律不再适用。
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3.导热系数
λ
=
−
q ∂t
n
∂x
导热系数反映物质导热能力的大小，绝大多数材料的导热系数值都可 以通过实验测得。
说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳态导热。 对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内部的温度分布规 律（称为初始条件）：
t τ =0 = f (x, y, z) 22
4.边界条件
说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用, 例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量 交换情况等。
q = −λ( ∂t i + ∂t j + ∂t k)
∂x ∂y ∂z
qx
=
−λ
∂t ∂x
qy
=
−λ
∂t ∂y
qz
=
−λ
∂t ∂z
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傅里叶定律的适应条件：
（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度 矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关, 因此热流密 度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。
常见的边界条件分为以下三类: (1) 第一类边界条件
给出边界上的温度值、分布及其随时间的变化规律。最简单的例子是 规定边界温度保持常数，tw=常量。对于非稳态导热，要求给出：
(2) 第二类边界条件 给出边界上的热流密度值、分布及其随时间的变化规律。最简单的例子