K=黏性或熱傳導 假設為常數
T T T 2 2 x y
2 2 2 2 2 T T 2 v T U 2 V 2 x y
有限差分近似及其符號表示
一個偏微分方程的有限差分近似由我們所 關心的區間上的網格所構成，採取矩形網 格結構，其間距為常量。
T v T k 2T t 2 2 T T T T T U V k 2 2 t x y y x 在空間交點ij處做離散 Tij 2 2 U 2 xTij V 2 yTij k x Tij y Tij t
偏微分方程的有限差分方法：介紹
謝謝大家~
偏微分方程(PDE)期末報告
-有限差分法簡單介紹
學生：李宗諺 B97520016 河工3A 指導教授：陳正宗 終身特聘教授
傳導-擴散方程
T 2 v T k T T T x , y , t t
v v x, y, t U x, y, t i V x, y, t j
Tijn 1 Tijn t
1 1 + 2 即可求解 2
運算元
Tijn T ix, jy, nt
一些常用的有限差分運算元：
1 2 xTij Ti 1 j Ti 1 j 中心差分 2x 1 xTij Tij Ti 1 j 向後差分 x 1 x Tij Ti 1 j Tij 向前差分 x 1 2 x Tij 2 Ti 1 j 2Tij Ti 1 j x
Tij t
U 2 xTij V 2 yTij k T T
2 x ij

2 y ij

由前向歐拉法可得 1 n 1 n Tij Tij 2 n n k x2Tijn y Tij U ij 2 xTijn Vijn 2 yTijn t 由後向歐拉法可得 2 Tijn1 Tijn 2 n 1 n 1 k x2Tijn1 y Tij U ij 2 xTijn1 Vijn1 2 yTijn1 t 再將求得的運算元代入


資料來源
•/zh-tw/CrankNicolson_%E6%96%B9%E6%B3%95
維基百科
Crank-Nicolson 方法
•/NR/rdonlyres/Aeronautics -and-Astronautics/16-901Computational-Methods-inAerospace-EngineeringSpring2003/60C5F02C-67F0490B-9651-1151A8077C12/0/Section3Article1.pdf
O x5
ij


可得 代入
T 2 xTij x
1 2 3T x 3 6 x ij
O x 4
ijFra bibliotekTijn 1 Tijn t
1 1 + 2 2
對這個演算法的一些注釋
2 2 O t , y , x •局部誤差為 •在無粘性限制時這個方法就不適用了，它 變得不再穩定。
這些運算元構成許多偏微分導數有限差分近似。
泰勒級數分析
1 2 xTij Ti 1 j Ti 1 j 2 x
Tij 泰勒級數展開式代入
T Tij x x
1 2 2T x 2 2 x ij
1 3 3T x 3 6 x ij
4 1 T 4 x 4 24 x ij