黑龙江科技学院考试试题
课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110适用专业（班级）：数学 命题人：潘晓丽
教研室主任：
、（15分）写出三类典型泛定方程并分别说明其名称和特点
2
2
U
2
U
一、（10分）求一维波动方程
t 2
x 2
，t 0
的通解
x
u x,0 x , u t x,0
三、（15
分）
写出达朗贝尔公式并利用公式求解
u tt a 2
u xx , t 0,
x
u x,0 sinx U t x,0 cosx
四、（10分）计算积分 x 3
J 2 x dx . 五、（15分）设m 1,n
1，证明
六、（15分）用分离变量法求解
2
u tt a U xx 0, 0 x l,t 0
u x,0 0,u t x,0 x u 0,t 0,u l,t 0
八、（10分）叙述斯图模-刘维尔定理.
黑龙江科技学院考试试题答案
七、（10分）解固有值问题
y'' y 0, y' l y' l
第一套 共1页 第1页
n 1
0x m
p n xdx
1
m 1 , m 0 x p n 1 x dx
2
一、解：波动方程：一a2u f t,x
t -
热传导方程：汁a2 u f t,x
位势方程：u f x (5)
其中x X j，x2,L ,x n，a为常数，f t，x及f x为已知函数，在波动方程及热传导方程中，未知函数u是时间变量t和空间坐标变量x x1,x2,L ,x n的函数，在位势方程中，未知函数u是空间坐标变量x 为必,L ,人的函数，而与时间t无关，三类典型方程均为二阶线性偏微分方程。
(15)
二、解：首先判别方程的类型，
a20 ............. 2 分
即此方程在整个全平面上都是双曲型的。
特征方程为：dx $ a2 dt $ 0
2 2 2
dx a dt 0 dx madt 0
x at 特征曲线为G
x at C2
做变量替换，令
x at
x at 由链式法则得u 0
通解u f g f x at g x at ....................... .10 ................................ 分
1 1 x at
.5分、解：u x,t x at x at — d
2 2a x at
1 . 1 x at
u x,t sin x at sin x at cos d
2 2a x at
sin x cosat sin x at
2a
1
sin xcosat cosxsin
at
a sin x at .10分
.15分
四、解：由分部积分法及微分关系x v J v x v J v 1，有
x3J 2x dx x4x 1J 2 dx x4 x 1J 1 4 x31J 1 dx
x3 4 x2J 1dx x3J 1 4 x2 J
'0dx
.5分x3J14X2J08 xJ0dx .8分
8x J14X2J0 x .10分
五、证明：
1
m
n x P n x
0 dx
1 m
x
xp P'n 1x dx .5
分
P n m
x P n
m
x dx x p n 1x
1
1
0 0mx
m 1
P n 1
x dx .10分
1
m 0x P n x dx m 1
P n 1 x dx .15分
移项有1
x m p n x dx
n
P n dx
六、解: 设u
x,t
xT
代入方程组得解固有值问题
X
a2T
..3
分
T n
n 2
n [厂]n
[―]2代入T
l
C n cos^^t
l
1,2,
3
a2T
Dn^ a t
X n x sin
l
..9
分
所以u n x,t [C n cos^-^t D n sinin>x 叠加得原解..6分
1 n 12l 2
-2~2 n a
..13
分
y x A cos x Bsi n x ..... .3 分
将此式代入边界条件, 并消去公因子
，得
Asi n l Bcos l 0
(1)
Asi n l Bcos l 0
为使A,B 不全为0，必须系数行列式
sin l sin l cos l cos l
si n2 1 0
故
n
n 2l ,
2 n
n
2
n
2l
,n 1,2丄…… ….7分
u
x,t
U n x,t
n 1
[C n
n 1
n a cos t l
n a n
D n sin t]sin ——x
l l 代入初值条件u x,0
U n n 1
x,0
C n
sin
^x 0 2l
得系数
U t x,0
D n sin 牛 x
C n 0
所以得原问题的解 1n12l 2 u x,t 厂
n a sinn a
ts in — x n 1 l l .2分 -刘方程，其中k x 1,q x 0, x 1，又题中两端边界条 件都是第二类，故 0,而且有零固有值
0，相应固有函数为y X 1。
当
0时，设 2
0，方程的通解为
七、解：题中方程是斯 D n 丄 n a 2 1
.
xsi n
. dy k x q x y dx
dx
两端点a, b 加五种边界条件之任
的固有值和固有函数有下列重要性质:
类边界条件，这时相应的固有函数为常数。
n 是任意两个不同固有值，则相应的固有函数
y m x 和y - x 在
a, b 上带
权
正交，即有
1、可数性：存在可数无穷多个固有值! P 2PL P n
im
n。
与每一个
固有值相应的线性无关的固有函数有且只有一个。
.4分
2、非负性:
-
0，有零固有值的充要条件是：q x
0，且a,b 两端都不取第
一、
把n 代入（1 ）有
这个方程的一个非零解是 Asi nL 2 A COS -
2
Bcos- 0 2
.n
sin
2 与n 相应固有函数为
Y n x
n n x cos cos 2 2l n x l
cos —
2l
.n
sin - 2 n x sin
2l .10分
八、Sturm-Liouville 定理： 若 k x ,q x x 满足：在a,b 上k x , k' x , x 连续;
当 x a,b 时，k x 0, x 0, q x 0,而a,b 至多是k x 及 x 的一级零点；q x
在a, b 上连续，而在端点至多有一级极点。
则
S-L 固有值问题
x y 0, a
.2分
3、正交性：设
x y m x y n x dx 0 .8分
x是完备的。
.10分
4、固有函数系Y
n。