在近轴情况下，等相位面是顶点位于z 旋转抛物面，抛物面的焦距为 在近轴情况下，等相位面是顶点位于z0的旋转抛物面，抛物面的焦距为：
z0 f2 f '= + 2 2 z0
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z0处的等相位面近 可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z 似为球面，其曲率半径为： 似为球面，其曲率半径为：
2
位相因子， exp (− iφ ( x, y , z ))：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 2 x H n ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 x2 + y2 y ⋅ exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp(− iφ ( x, y , z )) s
λz 2 1+ ( 2 ) πω 0
⇒ 2θ = 2
2λ 2λ = πL πω0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！ 高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2λ 2λ 2θ = 2 = πL πω0
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, λ = 0.638µm 某共焦腔氦氖激光器，
一、等相位面的分布
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面 、等相位面 行波场中相位相同的点连成的曲面 2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程 、与腔轴线相交于
φ (x, y, z ) = φ (0,0, z0 )
L 2z 2z L x2 + y2 π φ ( x, y, z ) = k[ (1 + ) + ] − (m + n + 1)( − ϕ ) = φ (0,0, z0 ) 2 L 1 + ( 2 z L) 2 L 2
ω2 z2 − =1 2 2 2 ω0 (πω0 λ )
——光斑半径随z按照双曲线规律变化。 ——光斑半径随z按照双曲线规律变化。 光斑半径随
三、 模体积
1、定义：描述某一腔模在腔 定义： 内扩展的空间体积。 内扩展的空间体积。 2、意义：模体积大。对激活 意义：模体积大。 图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 介质能量的提取就大， 介质能量的提取就大，对模 式振荡作贡献的粒子数越多， 式振荡作贡献的粒子数越多， 就有可能获得大的输出功率。 决定一个模式能否振荡， 就有可能获得大的输出功率。 决定一个模式能否振荡，能 获得多大的输出功率， 获得多大的输出功率，与其 它模式的竞争情况等。 它模式的竞争情况等。 3、对称共焦腔基模的模体 1 L2 λ 0 2 看成底半径为ω 积：看成底半径为ω0，高 V 00 = L πω 0 s = 2 2 的圆柱体。 为L的圆柱体。 λL2 1 0 高阶模： Vmn = Lπωmsωns = （2m + 1 （2n + 1 ） ⋅ ）
2 2 u mn ( x, y , z ) = C mn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 2 Hm ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 2 x H n ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 x2 + y2 y ⋅ exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 exp(− iφ ( x, y , z )) s
3.3 高斯光束的传播特性
求解对称开腔中的自再现模积分方程, 回顾 ——求解对称开腔中的自再现模积分方程,了解输 求解对称开腔中的自再现模积分方程 出激光的具体场的分布 前瞻 —— 研究高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
(
)
(
0
0
)
——等位相面在近轴区域可看成半径为 0的球面 等位相面在近轴区域可看成半径为R 等位相面在近轴区域可看成半径为
二.讨论 R0 = x + y + ( z − z 0 + R0 ) 讨论
2 2 2
2
R0 = z0 [1 + (
L 2 f ) ] = z0 [1 + ( ) 2 ] 2 z0 z0
注：高斯光束等相面的曲率中 心并不是一个固定点， 心并不是一个固定点，它要随 着光束的传播而移动。 着光束的传播而移动。
束腰处的等相位面为平面， 束腰处的等相位面为平面， 曲率中心在无穷远处
R 1.当 z0 = 0 时， (z 0 ) → ∞ 当 R 2.当 z0 → ∞ 时， (z 0 ) → ∞ 当
某共焦腔二氧化碳激光器， 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, λ = 10.6 µm
λ 2θ = 2 ≈ 2.3 × 10 −3 rad fπ
2θ ≈ 5.2 × 10 rad
−3
一般激光器的远场发散角都很小，约为10 弧度， 一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是表 明激光具有很好的方向性。 明激光具有很好的方向性。 高阶横模的光束发散角 θ m 和 θ n 可以通过基模的光斑 和发散角求出来： 和发散角求出来：
1
2 2 x H n ⋅ 1+ ζ 2 w s
2 x2 + y2 y ⋅ exp − 1 + ζ 2 ⋅ w 2 行波场横向振幅分布因子 s
—厄米—高斯函数 厄米— 在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从 中心(即传输轴线)向外平滑地降落。 中心(即传输轴线)向外平滑地降落。 花样：沿x方向有 条节线，沿y方向有 条节线。 花样： 方向有m条节线， 方向有n条节线。 方向有 条节线 方向有 条节线
2 2 umn ( x, y , z ) = Cmn H m ⋅ 1+ ζ 2 w s 2 x +y exp − ⋅ 1+ ζ 2 ws2
2 2
2 2 x H n ⋅ 1+ ζ 2 w s exp (− iφ ( x, y , z ))
2θ m = 2m + 1 2θ 0 2θ n = 2n + 1 2θ 0
2θ0为基模光束的发散角
由于高阶模的发散角是随着模的 阶次的增大而增大，所以多模振 荡时，光束的方向性要比单基模 振荡差。
3.3.2 高斯光束的相位分布
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式： 共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
——基模截面是高斯函数 ——基模截面是高斯函数 2、光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径 光斑尺寸振幅下降为最大值1/e时的光斑半径 1/e
4z 2 ω ( z) = 1+ ζ 2 = 1+ 2 L 2 2
ωs
ωs
4z 2 ω ( z) = 1+ ζ 2 = 1+ 2 L 2 2 ωs = xs2 + ys2 = λL π
无穷远处等相位面为平 曲率中心在z=0 z=0处 面，曲率中心在z=0处 光束可近似为一个 z=0点发出的半径 由z=0点发出的半径 的球面波。 为z的球面波。
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面， 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 面重合 且曲率半径达到最小 值 。
3.当 z0 >> f 时，R( z0 ) → z0 当
λL π ω 3、 (z ) 在纵截面上的表达式 ω ( z ) = 2ω 0 =
λL 2z 2 ω( z) = [1 + ( ) ] λz 2 ω2 2π L z2 =1 ⇒ ω ( z ) = ω0 1 + ( 2 ) ⇒ 2 − πω0 ω0 (πω02 λ )2 1 1 λL ω0 = ωs = 2 2 π
二、振幅分布和光斑尺寸 1、振幅分布
对基横模TEM00 对基横模
U 00 − 2 x2 + y2 = C mn exp 1+ ζ 2 ω 2 s
2 2 mn
基横模TEM00的光强 I 00 = U 00 = C 基横模
− 4 x2 + y2 exp 1+ ζ 2 ω 2 s
R0 = 2 f ' = z0 [1 + (
则有： 则有：
L 2 f ) ] = z0 [1 + ( ) 2 ] 2 z0 z0
(3 − 38)
R0 =
2
x2 + y2 x2 + y2 2 2 2 z − z0 = − ≈ R0 1 − − R0 = R0 − x + y − R0 2 2R0 R0 2 球面方程 x2 + y2 + z − z + R
2 = （2m + 1 （2n + 1 V00 ） ⋅ ） 0 2
3.3.3 高斯光束的远场发散角
一、定义： 定义：
双曲线两根渐近线之间的夹角： 基模远场发散角 2θ ：双曲线两根渐近线之间的夹角：
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
2θ = lim
2ω ( z ) z →∞ z
ω ( z) = ω0
2z L 2 z π L 2z x2 + y 2 π L k 1 + + − − ϕ ( z ) = k 1 + 0 − − ϕ ( z 0 ) 2 2 L 2 L 2 L 2 2z 1+ L
ωs
ωs
⇒ ω( z) =
λL 2z [1 + ( ) 2 ] 2π L
λL π