解
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA
myc 0
1 12
ml 2

1 2
lTA
需补充方程后求解
o
y
TA
A

c
yc B
mg
x
xc
ac aA art arn
xc

art

1 2
l
aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得：
3g
在例1中，对瞬心D的动量 矩为：
JD

1 12
ml 2

1 ml2 4

1 ml2 3
保持不变
由对瞬心D的动量矩定理：
1 ml2 1 mgl sin
3
2


3g 2l
sin
y
A XA
D

C
P O
YB x
B
与前面结果相同
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
J C*

3 mr 2 2
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
若圆盘有偏心。
y
J A JC + m 2
随时间而变
O
dLA dt

J A
m d 2
dt

dLA dt

J A
x
C
A mg
N
F
x
仅当动瞬心到质心的距离保持不变时才有：
dLA dt

J A
讨论
对瞬心的动量矩定理
第7章
质 点 系 动 力 学
保持不变
R
由瞬心动量矩定理：
J C* mgr sin
O
a
n C


aτC F
C
C* N
mg
3 2
(R

r)

g
sin

利用了几何关系
(R r) / r
与前面结果相同
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
A点是瞬心 vA 0
JA

1 ml2 3
保持不变
由瞬心动量矩定理：
)

YB

mg
(b)
1 12
ml
2
YB
l 2
sin

XA
l 2
cos
(c)
将式(a)和(b)代入(c)：


3g 2l
sin


d d

2 3g (1 cos )
l
X
A

3 4
mg
sin
(3cos

2)
0 0; 0 0
杆脱离墙的条件：XA = 0


arccos
2
x R
解得：
x 2 g sin
3 F 1 mg sin
3
N mg cos
y x
O C
A mg
N
F
x
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
F

1 3
mg
sin,
N mg cos
y
x
圆盘在斜面上不打滑
的条件 F N
O


1 3
tan
C A mg
若圆盘将又滚又滑， 则补充方程为
dt
JC
第7章
质 点 系 动 力 学
例 7-2-7
质量为m、半径为R的均质圆盘沿倾角为
的斜面上只滚不滑。试求圆盘的质心加速度 和斜面对圆盘的约束力。不计滚动摩阻。
y
x
O
自由度=1
C
A mg
N
F
x
第7章
质 点 系 动 力 学
解
取x为广义坐标
mx mg sin F 0 N mg cos 1 mR2 FR
阅读指南：
1、教材第7.2节 2、习题辅导第6章
第2节
质点系动量矩定理
作 业：7-11；7-12；7-21； 参考题：7-10；7-23；7-26；
2012年12月6日
质系动量矩定理 第7章 质系对任意动点的动量矩定理
dLA dt

M (e) A
mvC vA
质
点 系
定点
dLA dt

M (e) A
YO

(m1
m2 )g
W

(m1r1 m2r2 )2 JO m1r12 m2r22
g
如果圆轮对轴O的转动惯量未知，如何测 量它的转动惯量？— 落体观测法
第7章
质 点 系 动 力 学
例 7-2-6 齿轮传动 已知：主动轮I: J1、r1、Ma。
从动轮II: J2、r2、Mf
求：1、 2
F ' N 动摩擦系数
代入得： x


g(sin cos
2
g
R
cos
)
N
F
x
mx mg sin F
1 2
mR2

FR
为什么不满足 x R ？ 现为2自由度
第7章
质 点 系 动 力 学
例 7-2-8
长为l质量为m的均质细杆AB位于铅垂平面 内。开始时杆AB紧贴墙面，受微小干扰后B 端由静止状态开始沿水平面滑动。求杆在任
o
y
TA A

c
yc B
x P xc
1 ml2 mg 1 l
3
2


3g 2l
与前面结果相同
解
O
运动微分方程
a
J -mga sin

C
令 l J / ma


g l
sin

0
P
l 为等效摆长 相当于单摆的长度
如摆角 很小（ < 5 ），sin


g l


0
复摆微振动周期为：T 2
l g
2
J mga
可用复摆制作精密测定重力加速度的仪器
可用复摆法测量刚体的转动惯量
意位置受到墙的约束反力（表示为 的函数
形式）。不计摩擦。
y
A

O
第4章 质系动力学
x
B
解
第7章
质 点 系 动 力
取 为广义坐标
xC

1 2
l sin
yC

1 2
l cos
xC

l 2
(
cos
2
sin )
yC

l 2
(
sin
2
cos )
刚体平面运动微分方程：
y
A XA
m1r1 m2r2 m1r12 m2r22
g

YO
r1 O r2
W
XO
m2 g m1 g
第7章
质 点 系 动 力 学
解
(2). 轴承约束反力
质系动量定理

0 XO
m1r1 m2r2 YO m1g m2g W
YO
r1 O
XO
r2
W
解得：
XO 0
m2 g m1 g
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
当 5 时，复摆的运动为非线性振动。
悬挂中心与摆动中心具有互易性。 O
l J / ma
a
悬心O：
l

JC
ma2
a ' a
ma
JC a ma
l
C
a'
O'
摆心O’：l
JC
ma2 ma
aa'
a

JC ma

a
l l
n
n
LA rimivi miri2 J A
i 1
i 1
LA J A
代入对瞬心的动量矩定理：
dLA dt

J A

dJ A dt


M (e) A
对瞬心的动量矩定理要简化为：
dLA dt

J A

M
(e) A
物体对瞬心的转动惯量 J A 必须保持不变
否则只能写成：
O
a
n C
aτC
F
C
由刚体平面运动微 分方程得：
maC m(R r) F mg sin maCn m(R r) 2 N mg cos J C Fr

C*
N
mg
正向
几何关系： r (R r)
(R r) / r

1 2
m(R
n
mxC Xi i 1
n
myC Yi i 1
刚体平面运 F2 动微分方程 O
ri i x'
C ac
F1
x
n
JC mC (Fi ) i 1
刚体相对质心的动量矩
n
n
LC rimivir miri2 JC JC
i 1
i 1
dLC dt

d(J C )


Ma

r1 r2
M
f

J1

J2 i2