下降迭代算法。
x1 x
0
.
.
. x2
x3 .
D
• 下降迭代算法步骤
( 1 ) 给出初始点 x 0 ， 令 k : 0 ；
( 2 ) 按照某种规则确定下降 搜索方向 d k ;
使得 ( 3 ) 按照某种规则确定搜索 步长 k ， f ( x k k d k ) f ( x k );
( 4 ) 令 x k 1 x k k d k ， k : k 1;
无约束优化问题 min f ( x)
求解方法：各种非线性规划的迭代算法，智能优化 算法
多目标规划问题：
设 F ( x ) ( f1 ( x ) , f2 ( x ) , , fm ( x ) )T , g ( x ) ( g1 ( x ) , , g l ( x ) )T 。 多目标规划问题： max F ( x ) s.t . g ( x ) 0 称 D { x | g ( x ) 0 , x R n } 为可行域。
（3）在什么环境下进行优化？
确定约束条件。
最优化模型：
max(min) s.t . f ( x)
目标函数 约束条件
hj ( x ) 0, j 1, 2, , m g i ( x ) 0, i 1, 2, , l
其中 s .t . 是 subject to 的缩写。
•可行解： 满足约束条件的解； •最优解：使目标函数值达到最大（最小）的可行解。
什么是数学建模？ • 数学建模（Mathematical Modeling），建立数学模 型的过程就称为数学建模。数学建模是一种数学的 思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、 简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。
•数学建模采用的主要方法 : 1、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本 物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。 2、数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出 与数据拟合最好的模型。 3、仿真和其他方法。
最优化问题和最优化模型： 最优化问题：研究如何从可行决策中确定最优 决策，从而使得所关注的目标达到最优的问题。 最优化问题在现实世界中普遍存在。 生产计划、物流运输、企业管理、投资决策……
建立优化问题数学模型的关键： （1）优化什么？ •确定目标函数 （2）如何实现优化？
利用最优决策方案实现优化。 确定决策变量。
例 TSP问题：设有 n个城市 1 , 2 , , n。则 TSP问题得 一个可行解可表示为 x 1 , 2 , , n , 其中 1 , 2 , , n 是 1 , 2 , , n的一个全排列。
2 交换邻域： N 2 ( x ) { x | x 由 x 交换其中两个城市得到 }
x jk 第 j个工件分给第 k 台机器加工 1, , k 1, 2 0， 第 j个工件不分给第 k 台机器加工
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 确定约束条件： 每个工件只能在两台机器中的一台上加工。所以有
x j 1 x j 2 1, j 1, 2, , n
• 确定目标函数： 设所有工件的最后完工时间为T，则有
例： N ( x0 , ) { x | x x0 }
邻域搜索算法： 1. 给定初始可行解 x 0 ，令k : 0； 2. 求出 x k 的邻域 N ( x k ) ; 3. 选取集合 S N ( x k ), 如果存在 x S 使得 f ( x ) f ( x k ), 则令 x k 1 x , k : k 1 , 转 2； 否则令 x * x k , 结束。
( 5 ) 判断 x k 是否满足停止条件。 是则停止； 否则转（2）。
搜索步长确定方法：
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )

称 k 为最优步长。
2. 邻域搜索算法
Q
x1 x0
邻域： N ( S ) { y | y h( x ) , x S } , h( x )是一个映射。
转化为线性表达式：
min T x j 1 x j 2 1, j 1, 2, , n n T p j x j1 j 1 n T pj x j2 j 1 x j 1 , x j 2 0或1, j 1,2, , n
s.t .
引进 0 1变量 xij , 令 第 i 个工人做第 j 件工作 1, xij 0 , 第 i 个工人不做第 j 件工作 设总用时为 T 。 则有
min
T t ij x ij
i 1 j 1
n
n
s .t .
xi 1 xi 2 xin 1 x1 j x2 j xnj 1 xij 0 或 1
2. 整数规划问题属于NP困难问题，没有好的算法。 常用的求解方法有：分支定界法，隐枚举法等。
非线性规划模型： min f ( x ) gi ( x) 0 s.t . hj ( x ) 0
i 1 , 2 , , m j 1 , 2 , , l
其中 f ( x ) , g i ( x ) , h j ( x ) 中至少有一个是非线性 函数。 令 D { x | g i ( x ) 0 , i 1 , 2 , , m ; h j ( x ) 0 , j 1 , 2 , , l }， 称 D 为可行域。
求解方法：化为单目标规划问题求解
例 营养配餐问题 假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡 热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四 种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分 和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前 提下使购买食品的费用最小？
食品名 热 量 蛋白质 价 格 钙 序号 称 （毫克） （元） （千卡） （克）
线性规划模型： 在一组线性约束条件下求一个线性目标函数的最值问题。
一般形式： min(max) z
i 1

n
ci xi
s .t .
a11 x1 a12 x 2 a1n x n ( , ) b1 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n ( , ) bm x1 , , x k 0 ; x k 1 , , xn 无约束
1 2 3 4
猪肉 鸡蛋 大米 白菜
1000 800 900 200
50 60 20 10
400 200 300 500
14 6 3 2
建立模型： 确定决策变量：设第j种食品每天的购入量为 x j 。 确定目标函数：设每天购买食品的总费用为 S。则有
S 14 x1 6 x 2 3 x 3 2 x4
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
例 （指派问题）现有 n 项工作要分配给 n 个工人完成。 第 i 个工人完成第 j 项工作需要时间为 t ij 。 每个工人只能 完成一项工作，每项工 作也只能分配给一个工 人。 问： 应如何分配工作才能使 总的完工时间最短？
建立模型： • 确定决策变量：如何描述工作分配方案？
什么是数学模型？ •数学模型（Mathematical Model）是指对于现实世 界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些 必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数 学结构。 数学结构是指数学符号、数学关系式、数学命题、 图形图表等。总之，数学模型是对实际问题的一种抽 象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、 数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与 其内在联系。
数学规划模型
一. 数学模型简介 二. 数学规划模型 三. 优化算法
一、数学模型简介 数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代初 诞生于英、美等现代工业国家。由于新技术特别是 计算机技术的飞速发展，大量的实际问题需要用计 算机来解决，而计算机与实际问题之间需要数学模 型来沟通，所以这门学科在短短几十年的时间迅速 辐射至全球大部分国家和地区。80年代初，我国高 等院校也陆续开设了数学建模课程，随着数学建模 教学活动（包括数学建模课程、数学建模竞赛和数 学建模试验课程等）的开展，这门学科越来越得到 重视，也深受广大师生的喜爱。
i 1 , 2 , , n j 1 , 2 , , n i 1 , 2 , , n ; j 1 , 2 , , n
注：指派问题可用匈牙利算法求解。
例 给定一批共 n 个工件，其中第 i 个工件的加工 时间为pi。现在要将这批工件安排在两台相同的机器 上进行加工，应该如何安排才能在最短的时间内完成 所有工件的加工任务？ 建立模型： • 确定决策变量：如何描述工件分配方案？ 对每一个工件 j，引入两个0-1变量 x j 1 , x j 2 ，令
n n T max p j x j 1 , p j x j 2 j 1 j 1
•数学模型为:
n n min T max p j x j 1 , p j x j 2 j 1 j 1 x j 1 x j 2 1, j 1, 2, , n s.t . x j 1 , x j 2 0或1, j 1,2, , n
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
数学模型：
min
S 14 x1 6 x 2 3 x 3 2 x4
1000 x1 800 x 2 900 x 3 200 x4 3000
s.t .
50 x1 60 x 2 20 x 3 10 x4 55 400 x1 200 x 2 300 x 3 500 x4 800
确定约束条件： 热量约束： 1000 x1 800 x 2 900 x 3 200 x4 3000 蛋白质约束： 50 x1 60 x 2 20 x 3 10 x4 55 钙约束： 非负约束：