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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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RB . 数学 . 选修2-2
图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
均变化率．
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RB . 数学 . 选修2-2
Δy 4．能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ Δx
Δy 【提示】 因 表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 Δx 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说， Δy 竖直位移与水平位移之比 越大，山坡越陡，反之，山坡 Δx 越缓．
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的大小比较
Hale Waihona Puke 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 1 取Δ x 的值为3，哪一点附近平均变化率最大？ Δy 【思路探究】 先求出平均变化率 ，再把 x0，Δ x Δx
代入比较大小即可．
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差的符号(商与1的大小)．
(3)下结论．
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RB . 数学 . 选修2-2
本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝
－x2”，则结论如何？
【解】 当 f(x)＝x2＋a 时， f(x) 在 x ＝ 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为
k1 ＝
由于k1>k2>k3， ∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的应用
已知某质点按规律 s＝(2t2＋ 2t)(单位：m)作直线运动，
求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 在 x ＝ 1 附近的平均变化率为 k1 ＝
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2－1 ＝ ＝2＋Δx； Δx Δx 在 x＝2 附近的平均变化率为 f（2＋Δx）－f（2） （2＋Δx）2－22 k2＝ ＝ ＝4＋Δx； Δx Δx 在 x＝3 附近的平均变化率为 f（3＋Δx）－f（3） （3＋Δx）2－32 k3＝ ＝ ＝6＋Δx. Δx Δx
已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ x ，分别计算 f(x) 在区间 [1 ， 3] ， [1 ， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【解】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）－f（1） 32＋3－（12＋1） ＝ ＝5； 2 3－1 f（2）－f（1） 函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为 ＝ 2－1 22＋2－（12＋1） ＝4； 1
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RB . 数学 . 选修2-2
f（1.5）－f（1） 函数 f(x)在区间[1， 1.5]的平均变化率为 ＝ 1.5－1 1.52＋1.5－（12＋1） ＝3.5. 0.5 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为 f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） ＝ （1＋Δx）－1 Δx 3Δx＋（Δx）2 ＝ ＝3＋Δx. Δx
【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 h（0.5）－h（0） 率为 ＝4.05(m/s)； 0.5－0 (2) 在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）－h（1） ＝－8.2(m/s)． 2－1
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RB . 数学 . 选修2-2
课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义.
2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率 【问题导思】 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示 平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δ y＝ f(－ 1)－ f(－ 3)＝ [3×(－ 1)＋ 1]－ [3×(－ 3)＋ 1]＝ 6， Δy 6 ∴ ＝ ＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 Δx 2 3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－ 3)＝ [2×(－1)2＋1]－ [2×(－3)2＋1]＝ －16， Δy －16 ∴ ＝ ＝－8， 2 Δx 即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
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RB . 数学 . 选修2-2
用定义法求平均变化率的基本步骤是： (1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 Δy 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出 . Δx
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f（1＋Δx）－f（1） [（1＋Δx）2＋a]－（1＋a） ＝ ＝2＋Δ Δx Δx x；
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f（2＋Δx）－f（2） 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝ Δx [（2＋Δx）2＋a]－（22＋a） ＝ ＝4＋Δx； Δx f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [（3＋Δx）2＋a]－（32＋a） ＝ ＝6＋Δx. Δx 1 1 7 1 13 1 若Δx＝ ，则 k1＝2＋ ＝ ，k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ 3 3 3 3 3 3 19 . 3
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由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时， f（1＋Δx）－f（1） f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝ ＝ Δx [－（1＋Δx）2]－（－1） ＝－2－Δx； Δx f（2＋Δx）－f（2） 在 x ＝ 2 附近的平均变化率为 k2 ＝ ＝ Δx [－（2＋Δx）2]－（－4） ＝－4－Δx； Δx
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教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 选 资 源
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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RB . 数学 . 选修2-2
1． 1 1．1.1
●三维目标 1．知识与技能
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RB . 数学 . 选修2-2
1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率
相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意 义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并 结合题意回答有关问题．
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RB . 数学 . 选修2-2
变量作差顺序不对应致误
已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－ 4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
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RB . 数学 . 选修2-2
f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [－（3＋Δx）2]－（－9） ＝ ＝－6－Δx. Δx 1 1 7 1 13 若Δx＝3，则 k1＝－2－3＝－3，k2＝－4－3＝－ 3 ，k3 1 19 ＝－6－3＝－ 3 .