B1(θ1θ2)C1 = B1C1
因此有:
B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H
其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此
θ1θ2 = E ⇒ θ2 = θ1−1
(2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第二节 矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 0 −1/ 3 10 / 3
r1←r1 −2r2 → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1,
3 3
而C就是变换后的前2行，即
C
=
1 0
3 0
β1 k β 21 1
+
β
2
Lα3L=Lk31β1 + k32β2 + β3
α r = kr1β1 + kr2 β2 + L + kr,r−1βr−1 + βr
并设 ν1 =|| β1 ||−1 β1,ν 2 =|| β2 ||−1 β2 , L,ν r =|| βr ||−1 βr , 则:
α1 = k1′1ν1 α 2 = k2′1ν1 + k2′2ν 2 α3 = k3′1ν1 + k3′2ν 2 + k3′3ν 3
A = U1RLU2.
证明: 自己练习
− 2 1 − 2
例1：求矩阵A的UR分解, 其中
1 1 1
A=
1 1
−1 −1
0 1
解：设A = (α1, α2, α3), 用Schmidt方法将α1, α2, α3标准正交
化得:
ν1
=
− 2
3 3
,
1 23
,
1 23
,
1 23
T
ν 2 = 0,
2 ,− 6
因为 rankC = rank(CCH) (见本章第三节引理), CCH∈Crr×r, 由 上式得:
B = B1C1CH(CCH)−1 = B1θ1, 其中 θ1 = C1CH(CCH)−1.
同理可得:
C = (BHB)−1BHB1C1 = θ2 C1, 其中: θ2 = (BHB)−1BHB1.
将上两式代入BC = B1C1，得：
第四章 矩阵分解
第一节 矩阵的满秩分解
定理：设A∈Crm×n, 则∃B∈Crm×r, C∈Crr×n使 A = BC
证明：设A的前r个列线性无关, 则∃P∈Cmm×m, 使
PA
=
Er 0
D 0
(即对A做初等行变换)
⇒
A
=
P −1
Er 0
D 0
=
P
−1
Er 0
(Er
D) =
BC
( ) 其中:
B
=
P
−1
1 ,− 6
1 6
T
ν 3 = 0, 0, −
1, 2
1 2
T
令U = (ν1, ν2, ν3), 则UHU = E3. 由 A = UR得
例 1: A = 2 6 1 0 7 r3 ←r3 −r2−r1 → 2 6 1 0 7
3 9 3 1 11
0 0 0 0 0
1 3 r2 ←r2 −2r1
2
1
4 (−1/ 3)r2 1 3 2 1
4
− − → 0 0 − 3 − 2 −1 − − → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
证明: 自己练习
A = LU.
推论2：设A∈Cnn×n, 则∃唯一的U1∈Un×n和n阶正线上三角矩 阵R使
A = U1R; ∃唯一的U2∈Un×n和n阶正线下三角矩阵L使
A = LU2. 证明: 自己练习
推论3：设A∈Crm×n, 则∃唯一的U1∈Urm×r, U2∈Urr×n, r阶正线 上三角矩阵R, 及r阶正线下三角矩阵L使
Er 0
∈
C m×r r
,
C=
Er
D
∈
C
r r
×n
若A的前r个列线性相关, 则∃P∈Cmm×m, Q∈Cnn×n使
PAQ
=
Er 0
D 0
⇒
A=
P
−1
Er 0
(Er
)D Q−1
=
BC
( ) 其中:
B
=
P
−1
Er 0
∈
C m×r r
,
C=
Er
D
Q −1
∈
C
r r
×n
1 3 2 1 4
1 3 2 1 4
1 0
0 1
− 1/ 9 2/3
10 / 9 1/ 3
定理：若A = BC = B1C1均为A的满秩分解，则：
(1) ∃θ∈Crr×r满足B = B1θ, C = θ −1C1;
(2) CH(CCH)−1(BHB)−1BH = C1H(C1C1H)−1(B1HB1)−1B1H .
证明：(1) 由BC = B1C1有： BCCH = B1C1CH
定理：设A∈Crm×r, 则∃唯一的U∈Urm×r和r阶正线上三角矩阵 R使 A = UR
证明：存在性. 设A = (α1, α2, L, αr), 其中α1, α2, L, αr线性无 关, 可用Schmidt方法对其正交化为β1, β2, L, βr, 则:
β1 = α1
β2
=
α2
−
(α 2 , β1) (β1, β1)
LLL
,
其中ki′i
=
βi>0来自α r = kr′1ν1 + kr′2ν 2 + L + ν k ′r,r−1 r−1 + kr′rν r
⇒
U∈Urm×r
k1′1 k2′1 L kr′1
A = (α1, α 2 , L, α r ) = (ν1,ν 2 , L,ν r )
k2′2
O O
M
kr′,r −1 kr′r
⇒ A = UR 唯一性. 设A = U1R1 = U2R2, 则:
R∈Crr×r 正线上三角
AHA = (U1R1)HU1R1 = R1HR1 = R2HR2.
由R1, R2均为正线上三角矩阵可得: R1 = R2, 从而U1 = U2.
推论1：设A∈Crr×n, 则∃唯一的U∈Urr×n和r阶正线下三角矩 阵L使
β1
β3
=
α3
−
(α3 , β1) (β1, β1)
β1
−
(α3 , β2 ) (β2, β2 )
β2
LLL
βr
= αr
−
(α r , β1) (β1, β1)
β1
−
(α r , β2 ) (β2, β2 )
β2
−L−
(α r , βr−1 ) (β r−1, βr−1 )
β r −1
⇒
αα12
= =
0 1
−1/ 3 2/3
110//33
1/ 3 1 0 −1/ 9 10 / 9
A r1 /3→ 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
所以，也可取第2列和第3列构成E2, 则B由A的第2列和第3列
构成, 即
3 2
B = 6 1,
9 3
而C就是再次变换后的前2行，即
C = 10/ 3