式中 B1 为长直导线 I1 产生的磁感应强度。
G
4
2014-2015(1)《大学物理 A(2)》作业参考答案
所以
Φ m1 = − ∫
a
2a
μ 0 I1a dr μ I a ln 2 =− 0 1 2π r 2π
3
Φ m2
μ 0 I1a ln μ I a dr 2 = −∫ 0 1 =− 2 π 2 π r 2a
K
K
匀磁场中，若 Pm 与 B 的方向相同，则通过线圈的磁通量 Φ 与线圈所受的磁力矩 M 的大小 为 (A) (C)
K
K
K
Φ = IBPm , M = 0 Φ = IBPm , M = BPm
G G
(B) (D)
Φ = BPm /I , M = 0 Φ = BPm /I , M = BPm
G K G pm ；磁力矩 M = pm × B = 0 I
α
a I1 a
3 2
3 a (如图)，在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的 2 3 5 距离从 a 变为 a ，求磁场对正方形线圈所做的功． 2 2
解： 其中
I2
a
A = I 2 (Φ m 2 − Φ m1 ) G G μI Φ m = ∫∫ B1 ⋅ dS = − ∫∫ 0 1 adr 2πr
G G G M = pm2 × B1 = 0
[
B
]3. （基础训练 7） 两根载流直导线相互正交放置， 如图 11-29
y x I2
I1 所示．I1 沿 y 轴的正方向，I2 沿 z 轴负方向．若载流 I1 的导线不能动， z 载流 I2 的导线可以自由运动，则载流 I2 的导线开始运动的趋势是 (A) 沿 x 方向平动． (B) 绕 x 轴转动． 图 11-29 (C) 绕 y 轴转动． (D) 无法判断．
重力矩大小：
∴ M 重力 = 2mga sin α = 2 ρ a 2 sg sin α
BC 边的安培力的力矩大小： M 安 = Fa cos α ，其中安培力 F = IBa
∴ M 安 = IBa 2 cos α
平衡时，合力矩为零，即 得
M mg − M 安 = 0 B= 2 ρgstgα = 9.3 × 10 −3 (T ) I
【提示】磁通量 Φ =
∫∫ B ⋅ ds = BS = B
S
二. 填空题 6． （基础训练 14 ）如图 11-33 ，在粗糙斜面上放有一长为 l 的木制圆柱，已知圆柱质量为 m，其上绕有 N 匝导线，圆柱体的 轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感强度大小为 B、方 向竖直向上的均匀磁场中．如果绕组的平面与斜面平行，则当通 过回路的电流 I = mg /( 2 NlB ) 时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚 动．
μ 0 πI 1 I 2 r 2
2R
．
(B)
μ 0 I1 I 2 r 2
2R
0．
．
(C)
μ 0 πI 1 I 2 R 2
2r
I1 r I2 O R
．
(D)
【提示】大圆电流在圆心处的磁感应强度为 B1 =
2
μ 0 I1
2R
，方向垂直纸面朝内 ；小圆电流的
磁矩为 pm2 = I 2πr , 方向垂直纸面朝内， 所以，小圆电流受到的磁力矩为
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第十一章
一. 选择题
恒定电流的磁场（二）
[ C ]1. （基础训练 2）三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ分别载有 1 A，2 A，3 A 同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力 F1、F2 和 F3，如图所示．则 F1 与 F2 的比值 是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4．
Ⅰ 1A F1
Ⅱ 2A F2 F3
Ⅲ 3A
【提示】设导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电流强度分别为 I 1 , I 2 , I 3 ，产生的磁感应强度分别为
B1 , B2 , B3 ，相邻导线相距为 a，则
μ I ⎞ 7μ ⎛μ I F1 = I1l1B2 + I1l1B3 = I1l1 ⎜ 0 2 + 0 3 ⎟ = 0 , ⎝ 2πa 2π ⋅ 2a ⎠ 4πa μ I ⎞ 2μ ⎛μ I F2 = I 2l2 B3 − I 2l2 B1 = I 2l2 ⎜ 0 3 − 0 1 ⎟ = 0 ⎝ 2πa 2πa ⎠ πa
μ0nIqR __,才能保证不与 2msinα
螺线管壁相撞。 【提示】设粒子运动的半径为 R’，则要求 2R' ≤ R ，其中
K v
I q
图 11-53
μ nIqR mv ⊥ mv sin α ，所以 v ≤ 0 . = R' = 2msinα qB q( μ0 nI )
三. 计算题 12． （基础训练 24）一通有电流 I1 (方向如图)的长直导线，旁边 有一个与它共面通有电流 I2 (方向如图)每边长为 a 的正方形线圈，线 圈的一对边和长直导线平行，线圈的中心与长直导线间的距离为
α = sin −1
BD ． ep BD ． ep
K B
α
D
-e
(D)
α = cos −1
【提示】电子在磁场中的轨迹为一段圆弧，如图。所以有
R=
mv , eB
[
sin α =
D eBD eBD = = R mv p
B
]5.（自测提高 6）载有电流为 I，磁矩为 Pm 的线圈，置于磁感应强度为 B 的均
G
G G K = F直线ab = IL × B ，
⎛ 2 ⎞ ∴ 其大小 = ILB = I ⎜ × 2 R ⎟ B = 2 RIB , 方向沿y轴正向。 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
10. （自测提高 12）磁场中某点处的磁感强度为 B = 0.40i − 0.20 j (SI) ，一电子以速
6
K
K
K
G k ( N ) __．(基本电荷 e=1.6×10−19C) G G i j G G G 6 【提示】 F = −ev × B = −e 0.5 × 10 1.0 × 10 6 0.40 − 0.20
式中 l1 = 1m,
l2 = 1m, I1 = 1A, I 2 = 2A, I3 = 3A. 故 F1 / F2 = 7 / 8 .
[ D ]2. (基础训练 6)两个同心圆线圈，大圆半径为 R，通有电流 I1；小圆半径为 r， 通有电流 I2，方向如图．若 r << R (大线圈在小线圈处产生的磁场近似为均匀磁场)，当它们 处在同一平面内时小线圈所受磁力矩的大小为 (A)
3a
∴A=
μ 0 I1 I 2 a 4 ln 2π 3
K B
A D
13. （自测提高 18） 如图所示线框， 铜线横截面积 S = 2.0 mm2， 其中 OA 和 DO＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为 a 的正 方形的三边，它可绕 OO＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁
O
O＇
K K 场 B 中， B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m3， K
粒子在从磁场中射出前是做半径为
I
B
x
mv qB
2
的圆周运动． 如果 q > 0
时，粒子在磁场中的路径与边界围成的平面区域的面积为 S，那么 q < 0 时，其路径与边界
⎛ mv ⎞ 围成的平面区域的面积是 π ⎜ ⎟ −S ⎝ qB ⎠
【提示】 （1） qvB = m
.
v2 mv ，所以 R = ； （2）参见下图。 qB R
α
B C
α
当铜线中的电流 I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB 段和 CD 段与竖直方向的夹角α =15°． 求磁感强度 B 的大小． 解：线圈的电流如图所示，才能保持平衡。此时，对转轴 OO’的合力矩为零。即三条边 的重力矩和 BC 边的安培力的力矩的矢量和为零。
a a M 重力 = mg sin α + mg sin α + mga sin α ， 2 2 其中 m 为一条边的质量： m = ρas
14. (自测提高 20)在一回旋加速器中的氘核，当它刚从盒中射出时，其运动半径是 R=32.0cm，加在 D 盒上的交变电压的频率是γ=10MHz。试求：(1)磁感应强度的大小；(2)氘 -27 核射出时的能量和速率(已知氘核质量 m=3.35×10 kg) 解： （1） γ =
1 qB = , T 2π m
1 2
l
O
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G
l
K dF
I
B2 =
G ∴ Idl 所受安培力为：
μ0 I μ0 I ，方向垂直纸面朝外； = 2π r 2π l sin θ
G G G dF = Idl × B2 ,
μ0 I 2 dl 其大小dF = IdlB2 = , 方向如图。 2π l sin θ
G G G G dF 对O点的力矩为：dM = l × dF , 其大小dM = dF ⋅ l =
S P
K v
K B
P
K B
K v
q>0
q<0
3
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9. （基础训练 20）如图，一根载流导线被弯成半径为 R 的 1/4 圆弧，放在磁感强度为 B 的均匀磁场中，则载流导线 ab 所受磁场的作用力的大小为 2 RIB ，方向沿 y 轴正向。 【提示】如图，电流从 a 流向 b。 F弧ab
O G B1
x
B
B
]4.（自测提高 4） 一个动量为 p 的电子，沿图示方向入射并能穿过一个宽度为