第十一章 稳恒电流的磁场（一）一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度毕奥—萨法尔定律：304r rl Id B d⨯=πμ1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a IB πμ20=半无限长载流直导线a IB πμ40=,直导线延长线上0=B2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθμ220•=R I B 电荷转动形成的电流：πωωπ22q q T q I ===【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8()82,,22135cos 45cos 244,221200020102121ππμπμμ===-⨯⨯⨯==a a B B a Ia IB a IB o o o o 得由【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B的大小为(A))(20b a I+πμ． (B)b ba aI+πln20μ．(C) bb a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．解法：b b a a I r dr a I r rdIdB dr aIdI a b b+======⎰⎰⎰+ln222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：根据直线电流的磁场公式)cos (cos 4210θθπμ-=aIB 和圆弧电流产生磁场公式πθμ220⋅=a I B 可得 aI B P πμ20=、)221(2)221(4200+=+⨯=a I a I B Q πμπμ )21(2442000ππμμπμ+=+⨯=a I a I a I B O 【 】自测提高7、边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为 (A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 21B 2． (D) B 1 = B 2 /4． 解法：设正方形边长为a ,)22(a b b OC AO ===式中， ω 相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 πω2q I =当正方形绕AC 轴旋转时，一个点电荷在O 点产生的磁感应强度的大小为bIB 20μ=，实际AC 旋转产生电流，在O 点产生的总磁感小为b IbIB B 001222μμ=⨯==O 点产生的磁感应强度的大小为bIb IB B 0022244μμ=⨯== 故有122B B =基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l Id ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向为 。

解法：根据毕奥-萨伐尔定律 k a Idl a i j Idl re l Id B r202020444πμπμπμ-=⨯=⨯= 自测提高19、将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D点的磁感强度B的大小。

解法：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ= AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μBC 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([03⋅π=b I B μ 1B、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为)223(40baI B +ππ=μ 基础训练23如图所示，半径为R ，线电荷密度为 (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的解法：圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为λωωπλπR R T q I ===/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得2/32230)(2y R R B B y +==ωλμ方向沿y 轴正向。

二、利用安培环路定律求对称性分布的电流周围的磁场安培环路定理：∑⎰=•i I l d B 0μ1.无限长载流圆柱导体R r >，r I B πμ20=。

R r <202RIrB πμ= 2.长直载流螺线管⎩⎨⎧=外内00nI B μ 3.环形载流螺线管⎪⎩⎪⎨⎧=外内020rNIB πμ4.无限大载流导体薄板20nI B μ=，两块无限大载流导体薄板⎩⎨⎧=两板之间两板外侧nI B 00μ【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是解法：根据安培环路定理：当 a r < 时0=B 当a r b >>时 222202ab a r r I B --⋅=πμ 当b r >时 rIB πμ20=且a r =时0=B 和a r b >>时，曲线斜率随着r 增大。

自测提高16、如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度ω 0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到＋∞磁感强度的线积分等于____________________． 解法：由安培环路定理 I l B l B 0d d μ==⎰⋅⎰⋅+∞∞- ，而 π=20ωq I ，故 π2d 00ql B ωμ=⎰⋅+∞∞-基础训练18、将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是 （提示：填补法） 解法：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图11-42所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求： (1) 内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2) 两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；(3) 外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4) 外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解法：用安培环路定理⎰∑=⋅LL l d B 内求解I 0μ。

磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。

其大小满足：∑=内L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）(1)202202,2:a IrB r aIr B a r πμππμπ=∴=⋅< (2)I r B b r a 02 :μπ=<<， rIB πμ20=∴ (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=<<I b c b r I r B c r b )()(2 :22220ππμπ ()()222202b c r r c I B --=∴πμ(4)0B 02 :=∴=⋅>，r B c r π三、磁通量的计算S d，S d B d m •=Φ，⎰Φ=Φm m d高斯定理：⎰=Φ0m d基础训练11、均匀磁场的磁感强度B 与半径为r 的圆形平面的法线n 的夹角为α ，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面如图11-31．则通过S 面的磁通量Φ = 。

（提示：填补法） 解法：根据磁场的高斯定理，通过S 面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量。

当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S 面的磁通量为负值。

自测提高13、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线)(220R r r R IB ≤=πμ)(20R r rIB ≥=πμ2ln 220202πμπμφIl dr l r I S d B R R ==⋅=⎰⎰→→πμπμφ82ln 200Il Il +=的轴平行且相距3a ．则B在圆柱侧面S 上的积分=⎰⎰⋅SS B d _______．解法：根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练22.、一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量． 解法：根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感应强度的大小为：因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为πμπμ820304011Ildr r R Il d R==Φ=Φ⎰⎰（详见同步辅导与复习自测例题12-3）在导体外穿过导体外矩形截面的磁通量为故总的磁通量为附加题自测提高26、 均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为λ，绕垂直于直线的轴O 以ω 角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．如图11-43所示，求：(1) O 点的磁感强度0B ； (2) 系统的磁矩m p；(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．解法：（1）将带电细杆分割为许多电荷元。

在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：dr dq T dq dI πωλωπ2/2===它在O 点产生的磁感应强度为O b a AB ω 图11-43方向垂直于纸面向内。

,42000dr r r dIdB πωλμμ==根据⎰=00B d B，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大小为aba dr r B ba ao +==∴⎰+ln 4400πωλμπωλμ （2） dq 所等效的圆电流dI 的磁矩为dr r SdI dp m πλωπ22==,方向垂直于纸面向内； 根据⎰=m m p d p，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p的大小为()[]33262a b a dr r p ba am -+==∴⎰+ωλπλωπ （3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，等效的圆电流：πωλ2b I = 在o 点产生的磁感应强度为abaIB πωλμμ4200==∴ 系统的磁矩 2222ba ab IS p m ωλππωλ===∴ ★★★★布置的作业中遗漏（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p与电子轨道运动的动量矩L 大小之比，并指出和L方向间的关系．(电子电荷为e ，电子质量为m )解：设电子绕核运动的轨道半径为R ，匀速圆周运动的速率为v 。