（3）计算yt的样本自协方差函数
（4）计算yt的样本自相关函数 （见Excel文件）
k 协方差 相关系数
0 189.6
1 2 3 -149.7 87.6 -31.1 -0.78956 0.462025 -0.16403
i 1 j 1 i j
n
n
j i
(l1 l2 l3
1 2 0 0 1 1 ln ) 2 1 0 n 1 n 2 n 3
n 1 l1 n 2 l2 n 3 l3 0 l 0 n
第三章 ARMA模型的特性
本章共有四节内容：
※第一节 ※第二节 格林函数和平稳性 逆函数和可逆性
※第三节 自协方差函数
※第四节 自谱
第三节 自协方差函数 一、自相关函数 1.自相关函数的引入 2. 理论自相关函数与样本自相关函数 3. 格林函数与自协方差函数之间的关系 4. ARMA模型自协方差函数及其特点 二、偏自相关函数
t t k
（3）样本自相关函数
（注：样本数据也先进行零 均值化处理） N 1 ˆk Xt Xt k N t k 1
ˆk ˆk ˆ0
t k 1
)

cov(X t , X t k ) VarX t VarX t k
k k 0

N
X t X t k
一、自相关函数 1. 自相关函数的引入
AR(1)模型：
X t 1 X t 1 at
问题：
Xt与Xt-2是否有相关关系？有怎样的相关关系？ 怎样去度量这种相关关系？
对MA(1)模型呢？
Xt与Xt-j虽不直接相关，但有一定的相关关系，这就是我 们这一节将要给大家介绍的自相关函数。
2. 理论自相关函数与样本自相关函数
k＝0，1，2，…，N；
该式是自协方差 k 的估计，称为样本自协方差函数， 相应的自相关估计称为样本自相关函数。
例1： Xt 的样本数据如下：求其样本自协方差函数 和样本自相关函数 Xt：47 64 23 71 38 64 55 41 59 48 计算步骤（1）计算样本均值； （2）对原序列Xt进行零均值化处理，得到yt；
协差阵为正定阵，对平稳序列而言，自协方差的正定性 是最本质的，常常是相关分析和参数估计的条件。
设随机变量Xt，Xt-1，Xt-2，…Xt-n+1的任一线性函数为：
Lt l1 X t l2 X t 1 ln X t n1
由于对平稳过程而言，有
cov[X i , X j ]
2 ) Xt：零均值平稳时间序列； at ~ NID(0, a
任何一个ARMA模型都可转化为等价的零均值ARMA模型。
（1）自协方差函数 cov(Xt，Xt-k)＝（若Xt零均值平稳）E(XtXt-k)=γk （2）理论自相关函数
自协方差函数 cov(Xt，Xt-k)=γk 自相关函数
( X ,X
k k ; 0 0 1
n 1 n 2 n 3 2 z Pn 1
z2 0 ;
(6) 对样本自相关函数的说明
* ˆk
1 N k
t k 1
X t X t k
N
* ˆ N * ˆk k ˆ0 N k
（5）协差阵
k cov[X t , X t k ] E[( X t )( X t k )]
1 2 0 0 1 1 n 2 1 0 n 1 n 2 n 3 n 1 1 2 1 n 2 1 1 1 2 n 3 z 2 1 1 0 n 1 n 2 n 3
由此得知任何平稳过程的自协方差阵和自相关阵 都是正定的。 相应的，自协方差函数和自相关函数也都是正 定的。
对一般的Xt，k步滞后自相关ρk最令人满意的估计是
ˆk ˆk ˆ0
其中
1 N k ˆk ( X t X )( X t k X ) N t 1
1 N ˆ0 ( X t X ) 2 N t 1
N
2 X t t 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）自协方差函数和自相关函数的性质 一个平稳过程的自协方差函数具有以下性质：
0 0 k k k 0 k
0 1 k k k 1 k
由此可知，自相关函数和自协方差函数是关于 零点对称的。一个正态平稳过程Xt能够被其均值和协 方差函数（或等价地，均值、方差和自相关函数） 完全刻划。
i 1 j 1 n n n n
li l j
i 1 j 1
j i
所以Lt的方差为
var[Lt ] li l j
i 1 j 1
n
n
j i
若li不全为0，则上式必然大于0（方差大于等 于0）。
由于对任意不全为零的常数 l1 , l2 ,, ln 有
l l
j i
可利用协方差的运算法则得到Lt的方差
var(Lt ) cov(Lt , Lt ) cov(l1 X t l 2 X t 1 l n X t n 1 , l1 X t l 2 X t 1 ln X t n 1 ) li l j cov(X t 1i , X t 1 j )
t k 1

N
X t X t k
N 2 t
X
t 1

N ˆk N k
N 1 ˆk Xt Xt k N t k 1
ˆk ˆk ˆ0
t k 1

N
X t X t k
N
2 X t t 1
这是因为后者的方差要小于前者；后者是正定序列，