... ann
。
...
(对角行列式)
ann
a33 a11a22
...
... a11a22...| ann | a11a22...ann。
ann
a11
例：计算n阶行列式a21 a22
。
... ... ...
(下三角行列式)
an1 an2 ... ann
a22
解： Dn a11 ... ...
an2 ... ann
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得
（a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a33 a11a22 ...
an3
...
... a11a22...an1,n1 | ann | a11a22...ann。
... ann
a11 a12 ... a1n
例：计算n阶行列式
a22 ... a2n 。 ... ...
ann (上三角行列式）)
a11 a12 a13
a 在三阶行列式 D a21 a22 a23 中划去 ij所在的行
a31 a32 a33
列后，剩下的元素按原来在行列式中的位置顺序所组成
的二阶行列式称为 aij 的余子式记作 M ij 。而将Aij (1)i j Mij 称为 aij 的代数余子式
D
a11
a22 a32
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
4 6 32 4 8 24 14.
n阶行列式
设aij , i, j 1...n为n2个数，符号
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
D a11M11 a12M12 a13M13 a11A11 a12A12 a13A13
21 3
例1 计算三阶行列式 D 0 1 3
-1 2 1
解：
13 0
D 2 1
2 1 -1
3 3 0
1
-1
1 2
2(1 6) 1(0 3) 3(0 1) 10
a11 a12
Dn
a21
a22
a1n a2n
an1 an2 ann 称为n阶行列式 其值
Dn
a11 a11
A11
a12
A12
a1n A1n
n 1 n 1
其中A1
j是a1
的代数余子式
j
(
j
1
n)
余子式
在Dn中划去元素aij所在的行和列,剩下的 n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）外加两竖线的数学符号
称为二阶行列式 ,
a11 a12 a21 a22
其实质是一个数：a11a22 a12a21
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
a11 a1 j1
a1 j1 a1n
即M ij
ai 1,1 ai 1,1
a a ia, j1
i1, j1
a a i1, j1
i1, j1
ai 1, n ai 1, n
an1
anj 1
anj1 ann
代数余子式Aij (1)i j Mij
a11
例：计算n阶行列式
a22
a22 解： Dn a11
线性代数
行列式 矩阵 N维向量空间 线性方程组 矩阵的特征值与特征向量 实二次型
第一章 行列式
n阶行列式的定义 n阶行列式的性质 n阶行列式的计算
二三阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
定义
由九个数排成三行三列外加 两竖线的数学符号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
其实质是一个数：
称为三阶行列式.
a11 a21 a
a12 a22 a
a13 a23 a
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
三阶行列式
对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D1
b1 b2
a12 , a22
a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
aa1211
x1 x1