浅议对Hilbert空间的学习
摘要：本文在由正交概念得到勾股定理、正交投影定理的基础上，将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间，建立了内积空间和Hilbert空间，并对Hilbert空间进行了进一步的研究。

关键字：内积空间；Hilbert空间；正交分解；投影定理
1引言
在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。

[1]
2 内积空间和Hilbert空间
2.1内积空间
2.1.1 内积空间的定义：设X是数域F（实或复数域）上的线性空间，若
，存在唯一的数，满足下列三条（内积公理）：
i) 对第一变元的线性性质：
ii) 共轭对称性：
iii) 正定性：
则称为x和y的内积，X为内积空间。

当F是实数域时，称X为实内积空间；F为复数域时，称X为复内积空间。

通常X指的是复内积空间。

当X为内积空间时，对有:
i)
ii)
2.1.2内积空间的性质
2.1.2.1 在内积空间U中，按内积导出的范数满足平行四边形公式
证明：
2.1.2.2判别定理
若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式
，则X可成为内积空间。

证明：
①当X为实赋范线性空间时，定义
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
②当X为复赋范线性空间时，定义
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。

注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。

2.1.2.3内积的连续性
在内积空间U中，内积是两个变元的连函数，即当（按范数）时，数列。

2.2 希尔伯特（Hilbert）空间
定义:完备的内积空间X称为Hilbert空间，记作H.（即内积空间X按距离
是完备的，亦是Banach空间）。

此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。

这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。

任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。

任何有限维内积空间都是希尔伯特空间。

3 正交分解与投影定理
3.1 定义（正交性）
设X是内积空间，
（1）若，称与正交，记作；
（2）若，称x与正交，记作；
（3）若，称M与N正交，记作；
（4）X中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补，记作，即
（5）设M为X的线性子空间，，使得
则称为在上的正交投影，（*）式称为关于的正交分解。

3.2性质
(1)设X是内积空间，，则
称为“商高定理”，即勾股定理。

(2)设L是内积空间X中的一个稠密子集，，若，则=0（零元素）。

(3)设X是内积空间，，则为X的闭线性子空间。

(4)设X是内积空间，为线性子空间，若为在上的投影，则
而且x0是M中使上式成立的唯一点。

3.3投影定理
设M是Hilbert空间中闭（完备）线性子空间，则，必存在唯一的
及，使得
投影定理是希尔伯特空间理论中的一个基本定理。

设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对H中每个向量x，必存在M中唯一的最佳逼近元。

特别地，当M 是H的线性闭子空间时，z=x-y必与M正交，即对于线性闭子空间M，分解x=y+z 不仅唯一，而且z⊥y，这就是投影定理。

4 广义Fourier分析
傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

傅里叶分析一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。

这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这簇基中的元素或其倍数的和。

在R3中，是三个相互正交的单位向量，
则对于，有唯一分解，其中
（由正交性可得），即通过正交性可得到α的唯一分解表达式。

同样在内积空间X中，由正交性也可以将X中的元素表示为唯一分解的形式，这将十分有意义。

4.1正交系及规范正交系
4.1.1定义
设在X空间中有一组非零的元素列（或点列），
①若，则称为正交系；
②若，则称为规范正交系（或标准正交系）。

4.1.2规范正交化定理（Gram-Schmidt）
设是X中的任一线性无关元素组，则通过Schmidt正交化方法可以构造一组规范正交基。

构造方法如下：
……………………………….
……………………………….
由此得到为X中的一个规范正交基
4.1.3性质
4.1.3.1设是U中的规范正交系，
则对于，x在M上的投影：，并且
通常称为Bessel不等式。

即x在M上的投影x0的长度。

推广：设是X中的规范正交系，则，有
4.1.3.2最佳逼近定理设是X中的规范正交系, ，则
对于任意一组数，恒有
证：设，则x在M上的投影为
又由投影性质知
该定理说明：X中的任意元x，当用作有限维线性组合去逼近时，以
为最好逼近元，其中线性组合系数称为Fourier系数。

可见在有限维线性子空间M中求U中x的最佳逼近元等同于求投影。

当时,称为x关于的广义Fourier级数
4.1.4规范正交系的完全性及完备性
4.1.4.1定义设是内积空间X中的规范正交系
① 若对于, 当且仅当时，（即），则
是完全的；
② 若对于, 都有则称是完备的。

此式称为巴塞弗（Parseval）等式，也称为广义“商高定理”。

4.1.4.2性质
定理：设是H空间中的规范正交系，则下列四个命题等价①是完全规范正交系；
② 设,则；
③ 对, Parseval公式
成立（即在H中规范正交性的完全性与完备性等价，但在X中不成立）；
④ 对于，有
成立。

5、结束语
通过泛函分析的学习，使我对客观世界有了更加深刻的认识，也使我在未来的科研工作中具备了更强有力数学武器。

结合对Hilbert空间现有的认识，我将会进一步深入学习泛函分析，尽可能的应用到生活中。

参考文献
[1] 胡适耕.应用泛函分析[M]. 北京：科学出版社，2003.8.
[2] 曹怀信.泛函分析引论[M]. 陕西师范大学出版社，2006.5.
[3] 程其襄,张奠宙等著.实变函数与泛函分析基础[M]. 高等教育出版社, 2003.12.
[4] 百度百科：Hilbert空间。

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