中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为 1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。

交于A，B两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y xOC BA yxOC BAy xOC BA2. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

与坐标轴交于A ，B ，C 三点，A 点的坐标为(﹣1，0)，过点C 的直线错误！未找到引用源。

与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0<t <1．（1）点C 的坐标是____________，b =_______，c=______． （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．y x O Q PH CB A A B COxy3. （2012海南）如图，顶点为P (4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M ，N 关于点P 对称，连接AN ，ON ． （1）求该二次函数的关系式．（2）若点A 的坐标是(6，﹣3)，求△ANO 的面积．（3）当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM =∠ONM ；②△ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由．NlM AOP x yyxPO l4. （2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

与x 轴的两个交点分别为A (-3，0)B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． （1）a =________，b =________，顶点C 的坐标为_________．（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．A BCO H xy A BC O H xy A BCO H xy5. （2012辽宁大连）如图，抛物线错误！未找到引用源。

经过A (错误！未找到引用源。

，0)，B (错误！未找到引用源。

，0)，C (0，3)三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接PA ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．（3）将∠CED 绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若PM =2DN ，求点N 的坐标．lABCODEP xy lABCODEP xy6. （2012湖北黄冈）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

(m >0)与x 轴相交于点B ，C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线过点M (2，2)，求实数m 的值． （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积．（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH +EH 最小，并求出点H 的坐标．（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F ，使得以点B ，C ，F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．BCE OxyBCE Oxy7. （2012福建福州）如图1，已知抛物线错误！未找到引用源。

（a ≠0）经过A (3，0)，B (4，4)两点． （1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标．（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO =∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P ，O ，D 分别与点N ，O ，B 对应）．图1A BDOx yN图2yxODBA8.（2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．PABC O xyPABC O xyPABC O xy9. （2012浙江丽水）在△ABC 中，∠ABC =45°，tan ∠ACB =错误！未找到引用源。

．如图，把△ABC 的一边BC 放置在x 轴上，有OB =14，OC =错误！未找到引用源。

，AC 与y 轴交于点E . （1）求AC 所在直线的函数解析式．（2）过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，求△OEG 的面积．（3）已知点F (10，0)，在△ABC 的边上取两点P ，Q ，是否存在以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Gy xOEFC B A Gy xOEFC B A Gy xOEFC B A Gy xOEFC BA三角形的存在性1．（1）213322y x x =-++．（2）C 3(0)2-，．（3）存在，符合条件的点M 的坐标分别为123457(01)(07)(0)(10)(30)2M M M M M -，、，、，、，、，．2．（1）C （0，-3），b =-94，c =-3．（2）1480218412 -t t QH t t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-≤=，＜，＜＜．（3）存在，符合条件的t 值分别为t 1=2-1，t 2=732，t 3=2532． 3．（1）21=24y x x -． （2）△ANO 的面积为12．（3）①证明略；②能，A (4424)，+． 4．（1）1,=2a =b --，C （-1，4）．（2）存在，符合条件的点D 的坐标为（0，3）或（0，1）． （3）P )92031(，或P )165547(，-．5．（1）2123333=-y x x ++． （2）存在，符合条件的点Q 的坐标分别为Q 1()07,、Q 2()32,-、Q 3()33,4、Q 4()23-,1．（3）71333-,N ⎛⎫⎪⎪⎝⎭．1. （1）m =4．（2）S △BCE =6． （3）H （1，32）． （4）存在，m =22+2． 2. （1）x x y 32-=．（2）4=m ，点D 的坐标为（2，-2）．（3）点P 的坐标为（83-，3245-）或（3245，83）．3. （1）B （b ，0），C （0，4b）．（2）存在，点P 的坐标为（165，165）． （3）存在，符合条件的点Q 的坐标为（1，2+3错误！未找到引用源。

）或（1，4）．4. （1）32345y x =-+．（2）30OEG S ∆=．（3）存在，符合条件的点P 坐标为()()10342034534534102346131393553435340234+2424⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，．。