2幂级数
n 0
n 0
当| z | R 时 当|z | R 时
z z z
O
n a z n 发散
n a z n 可能收敛也可能发散
n 0
n 0
则称R为该级数 的收敛半径
R
| z | R 称为该级数 的收敛圆周
3
例1 如果级数
a z
n 0
n
n
在它的收敛圆周上一点z0 绝对收敛
n 0
n
如果 cn z0 收敛, 则当 | z | | z | 时 cn z n 绝对收敛 0
n c z 如果 n 0 发散, 则当 | z | | z0 | 时 cn z n 发散
n 0
设 z0 0
n 0 n 0
n 0
推论 若 cn ( z a ) 在z =z0处收敛 n 0 z0 z0 则当 | z a | |z0 a | 时 z z
2 n c ( z a ) c ( z a ) ... c ( z a ) c0 c1 ( z a ) 2 n ... n n
n 0
定理4.12(阿贝尔定理) cn z
n
n 2 z c z c ... c z z z z 称为幂级数 n 0 0 c1z0 c2 z0 n 0 ... n
n 0
| z | R1 | z | R2
n 0
设 bn z 的收敛半径为R2 ,和函数为 g( z )
n n n bn z n 当| z | min{R1 , R2 }时 (an bn ) z an z n 2 b ... b z 即 g( z ) ... 0 b1 z b2 z n
1 则收敛半径 R l
6
例4.求下列幂级数 的收敛半径 2 n ( n !) n z (2) n z P为正整数 (1) p n n n 1 n 1 p 1 lim an1 lim n 1 p 1 R a (1) 解 n p ( n 1) n n n an ( n !)2 (2) 解 an n n n n a n 1 ( n 1)! ( n 1)! lim lim n 1 n n ! n ! n a ( n 1) n
n
n z 所以当| | 1 时 cn z 绝对收敛
n 0
n 0
n 0
n 0
3. 收敛半径的计算方法 定理4.14 对于幂级数
比值法
an z
n 0
n
如果 lim
n
an 1 an
Байду номын сангаас 0,
1 则收敛半径 R l
根值法
如果 lim an l 0,
n
n
n 0
f ( z ) g( z ) (a0 a1 z a2 z ... an z ...)
2 n 2
n 0
n 0
n ...) ... b z (b0 b1 z b2 z n a0 b0 ( a0b1 a1b0 ) z (a0b2 a1b1 a2b0) z 2 n a b a b a b ... a b ... ( 0 n 1 n1 n1 1 n 0) z ...
n
n 0
O
| z0 |
a
c (z a)
n
n
绝对收敛
1
n 0
n c ( z 1) 在z =—1 处收敛 例如 设幂级数 n
n 0
1
则当 | z 1 | |1 1 |时 z n cn ( z 1) 绝对收敛
2
1
n 0
此时该级数在z =2处 绝对收敛
9
注意
n 0
绝对收敛
4
例2 设级数 cn 收敛, 而 | cn| 发散
证明 cn z 的收敛半径 为1
n
n 0
n 0
证 因为级数 cn 收敛, 即 cn z 在z =1处 收敛
n
n 0
由 | cn| 发散, 可以证明当| z | 1时 cn z 发散 n 0 z n 0 n cn z0 收敛 z0 假若 | z0 | 而且 1 z n 0 为1 所以 cn z n 的收敛半径 n n 0 O 1 则当 | z | | z0 | 时 cn z 绝对收敛 n 0 5 此时在z =1处 绝对收敛 即 | cn | 收敛
n
n ( n 1) n lim
( n 1)n
R0
( n 1) lim n 1 n (1 ) n
7
例4续.求下列幂级数 的收敛半径 (3)
(1 i )
n 0
n
z
n
n n n a lim n n ( lim lim ) 2 (1 i ) (3) 解 n 2 n n n
n 0 n n 0
证明 在收敛圆所围成的闭区域上
a z
n
n
绝对收敛
n z 时 a z 证 当 | | | z0 | 0 n a z
n a z 根据条件 n 0 收敛
z
z0
O
n 0
根据级数收敛 的比较判别法
R
所以
n 0 n 0
an z n 收敛
n a z n 在其收敛圆 围成的闭区域上
0
n c ( z 2) 能否在z=0处 收敛 例如 幂级数 n n 0 而在z =3处 发散？ z 不能
3
2
若在z =0处收敛， 则在z =3处绝对收敛 若在z =3处发散， 则在z =0处发散 2
和收敛半径 2. 幂级数的收敛圆 对于幂级数an z n 如果存在正实数R
n a z 当| z | R 时 n 绝对收敛,
(4)
e
n 1
i
n
z
n
1 2 R 2 2
i
(4) 解
an e
n
cos
n
i sin
n
1
8
lim n an 1 n
R 1
4. 幂级数运算和性质 n 设 an z 的收敛半径为R1 , 和函数为 f ( z )
n 2 a ... a z 即 f (z) ... 0 a1 z a 2 z n
