因为
dx y, dt
d2x dt 2
dy dt
dy dx
dx dt
dy y, dx
d3x d d2x
dt3 dt dt 2
d dt
( y dy) dx
d( y dy) dx
dx
dx dt
y( dy)2 dx
y2
d2y dx 2
,
用 数 学 归 纳 法 易 得, x(k)可 用y, dy ,, d (k1) y (k n)来 表 达
x (t, c1,, cn ),
c1
,,
c
为
n
任
意
常
数
F (t, x(k) , x(k1) ,, x(n) ) 0 (4.57)
解题步骤：
10 令x(k) y,则 方 程 化 为
F (t, y, y,, y (nk) ) 0
20 求上述方程的通解
y (t, c1,, cnk )
即
x(k) (t, c1,, cnk )
即有
d4x dt 4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5 ,
这 里c1, c2 , c3 , c4 , c5为 任 意 常 数
2. 不显含自变量t
一般形式:
F (x, x,, x(n) ) 0
(4.59)
此时以y x作为新的未知函数,而把x作为新的自变量,
解 令 dx y,并以x作为新的自变量, dt
则方程化为 从而可得
xy dy y 2 0 dx
y 0,
及
dy y , dx x
这两方程的全部解是
y c1x,
再代回原来变量得到 所以得原方程的通解为
dx dt
c1 x,
x cec1t
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐次线性方程
1 e p(t)dt dt] x12
(4.70)
30 令c1 0, c2 1得与x1线性无关的一个解
x2 x1
40 即得原方程的通解.
1 e p(t)dt dt x12
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] x12
(4.70)
d 2 x p(t) dx q(t)x 0(4.69)
若 令x(k) y,则 可 把方 程 化 为y的n k阶 方 程
F (t, y, y,, y (nk) ) 0
若 能 求 得(4.58)的 通 解
y (t, c1,, cnk )
即
x(k) (t, c1,, cnk )
对 上 式 经 过k次 积 分,即 可 得(4.57 )的 通 解
(4.58)
t
e
2 dt t
dt
]
sin t
t
[c1
c2
t2 1 sin 2 t t 2 dt]
sin t
1t
[c1 c2 cot t]
t [c1 sin t c2 cos t]
解题步骤：
10 令y x,并令y为新的未知函数, x为新的自变量, 原方程化为
G(x, y, dy ,, d (n1) y ) 0
dx
dx ( n 1)
20 求上述方程的通解
y (t, c1,, cn1 )
30 解方程
dx dt
(t, c1,, cn1 )
即得原方程的通解.
例2 求 方 程x d 2 x ( dx)2 0的 通 解. dt 2 dt
引入新的未知函数 z y
方程变为
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
是一阶线性方程,解之得
则
y
z c2
c x12
e p(t)dt
1 e p(t)dt dt x12
c1
z
因而
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] x12
令c1 0, c2 1得(4.69)的一个解
dt 2
dt
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt] (4.70) x12
例3 已 知x sin t 是 方 程d 2 x 2 dx x 0的解试求方程的通解.
t
dt 2 t dt
解 这里 由(4.70)得
p(t) 2 , t
x1
sin t
t
x
sin t
t
[c1
c2
t2 sin 2
dx
dx(k 1)
F (x, x,, x(n) ) 0 (4.59)
将这些表达式代入(4.59)可得
F (x, y, y dy , y( dy )2 y 2 d 2 y ,) 0
dx dx
dx 2
即有新方程
G(x, y, dy ,, d (n1) y ) 0
dx
dx ( n 1)
是关于x, y的n 1阶方程,比原方程(4.59)低一阶.
的非零解. 令
d 2 x p(t) dx q(t)x 0
dt 2
dt
x x1 y 则
x x1 y x1 y
代入(4.69)得
x x1 y 2x1 y x1y
(4.69)
x1 y [2x1 p(t)x1]y [x1 p(t)x1 q(t)x1]y 0
即
x1 y [2x1 p(t)x1]y 0
§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数 解法
4.3.1 可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式：F (t, x, x,, x(n) ) 0
1. 不显含未知函数x
或更一般不显含未知函数及其直到k 1(k 0)阶导数的方程是
F (t, x(k) , x(k1) ,, x(n) ) 0
(4.57)
30 对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x (t, c1 ,, cn ), 这 里c1,, cn为 任意 常 数
例1 求 方 程d 5 x 1 d 4 x 0的 通 解. dt5 t dt 4
解令
d4x dt 4
y,
则方程化为
dy 1 y 0 dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct,
y
x x1 y
(4.70)
这里c1, c2是常数
x2 x1
1 e p(t)dt dt x12
因
它
与x1之
比
不
等
于
常
数,பைடு நூலகம்
故x1
,
x
线
2
性
无
关
因此(4.69)的通解为
x x1[c1 c2
1 e p(t)dt dt]
(4.70)
x12
这里c1, c2是常数
d2x dt 2
p(t)
dx dt
q(t ) x
0(4.69)
解题步骤：
注:一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
10 令x x1 y, 原方程化为
x1 y [2x1 p(t)x1]y 0
20 令z y方程变为
解之得
x1
dz dt
[2x1
p(t)x1 ]z
0
z c e p(t)dt
即
x12
x x1[c1 c2