第四章 随机变量的数字特征
§5 矩, 协方差矩阵 矩 矩 协方差矩阵 协方差矩阵 n 维正态分布的性质
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
一、矩的定义
存在， 阶原点矩。 若 EX k 存在，称之为 X 的 k 阶原点矩。
存在， 阶中心矩。 若 E ( X EX ) k 存在，称之为 X 的 k 阶中心矩。
2 的分布； 求： X Y 的分布；
解：(1) E ( 2 X Y ) = 2 EX EY = 0 D( 2 X Y ) = 4 DX + DY = 4 × 4 + 9 = 25
2 则： X Y ~ N ( 0, 25 )
( 2) D( 2 X Y ) = 4 DX + DY 2 × 2COV ( X , Y ) 1 = 25 - 4 ρ XY DX DY = 25 4 × × 2 × 3 = 13 2
是协方差矩阵。 其中C是协方差矩阵。
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随机变量的数字特征
§5 矩
三、n维正态分布的性质 维正态分布的性质
1) n维随机变量 ( X 1 ,L , X n ) 服从n维正态分布
X 1 , L , X n 的任意线性组合 l 1 X 1 + L + l n X n
服从一维正态分布。 服从一维正态分布。
1 σ C = det C ρσ 1σ 2
1
2 2
ρσ 1σ 2 2 σ1
则联合密度函数为 f (x1, x2 ) 1 1 exp{ (X )′C (X )} = 2 1 2 2 2 (2π ) (det ) C 1
可以推广到n维正态r.v.
( X 1 , X 2 ,L X n )
∞
x x 1 1 2 1 2 e e = + 2 2π 2π y2 1 2 e ;则 同理， 同理， f Y ( y ) = 2π
2
2
=
1 2π
e
x2 2
;
X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1),
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第四章 例2（续） （
随机变量的数字特征
§5 矩
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第四章 例2（续） （
随机变量的数字特征
§5 矩
解：由题意，不妨设二维随机变量 ( X 1 , Y1 ) 的密度函数 由题意， 则
为 1 ( x , y ), ( X 2 , Y2 ) 的密度函数为 2 ( x , y ).
1 ( x, y) =
1 2π 1 1 / 9
3. 例：二维正态分布：
1 f ( x， y) = exp 2 2 2 1 ρ 2πσ1σ 2 1 ρ 1
(
)
( x 1 )2 2ρ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 + 2 2 σ1σ 2 σ1 σ 2
X1 1 C11 C12 令X = = C = X C C 2 2 21 22 2 σ1 ρσ1σ 2 = 2 ρσ σ 1 2 σ2
2 则： X Y ~ N (0,13)
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩 例 2 设二维随机变量 ( X , Y )的密度函数为 1 f ( x , y ) = [1 ( x , y ) + 2 ( x , y )], 2 其中 1 ( x , y )和 2 ( x , y )都是二维正态密度函数 ，且它们对应
随机变量的数字特征
§5 矩
且 X 1 ~ N (0,1), Y1 ~ N (0,1), 因此有
ρ X Y = 1 / 3;
1 1
X 2 ~ N (0,1), Y2 ~ N (0,1), ρ X 2Y2 = 1 / 3;
∞ ∞ 1 f X ( x ) = ∫ f ( x , y )dy = ∫ 1 ( x , y )dy + ∫ 2 ( x , y )dy 2 ∞ ∞ ∞
=
4π 2
e
9 2 2 ( x + xy + y 2 ) 16 3
,
2πσ1σ 2
1 exp 2 2 1 ρ 1 ρ2
(
)
( x 1 )2 2ρ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 + 2 2 σ1σ 2 σ 2 σ1
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第四章 例2（续） （
∞ ∞
∫ ∫ xyf ( x , y )dxdy
1 1 1 = = 0. 2 3 3
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第四章 例2（续） （
随机变量的数字特征
§5 矩
（2）由题设 ）
9 9 2 ( x 2 + xy + y 2 ) 16 ( x 2 2 xy + y 2 ) 3 3 f ( x, y) = + e 16 3 e , 8π 2
1
e
1 ( x 2 2× xy + y 2 ) 3 2 ( 1 1 / 9 )
=
3 4π 2
3
e
9 2 2 ( x xy + y 2 ) 16 3
,
2 ( x, y) =
f ( x， y) =
2π 1 1 / 9
1
e
1 ( x 2 + 2× xy + y 2 ) 3 2 ( 1 1 / 9 )
f X ( x ) fY ( y) = 1 e 2π
x2 2
e
y2 2
1 e = 2π
x2 + y2 2
,
由于 f ( x , y ) ≠ f X ( x ) f Y ( y )，
所以 X 与 Y 不独立.
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
思考题： 思考题：
求： E | X Y |, D | X Y | .
E ( X EX ) k (Y EY ) l 存在，称之为 X 和 Y 的k+l 存在， 若 阶混合中心矩。 阶混合中心矩。
是一阶原点矩， 是二阶中心矩， 所以 EX 是一阶原点矩， DX 是二阶中心矩， 协方差COV (X，Y)是二阶混合中心矩。 是二阶混合中心矩。 协方差 ， 是二阶混合中心矩
所以
EX = EY = 0, DX = DY = 1.
随机变量 X 和 Y 的相关系数ρ=EXY EXEY XDY=∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞ 1 = ∫ ∫ xy 1 ( x , y )dxdy + ∫ ∫ xy 2 ( x , y )dxdy 2 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 = [ ρ X 1Y1 + ρ X 2Y2 ] 2
1 1 的二维随机变量的相关 系数分别为 和 ，它们的边缘密 3 3 量的数学期望都是零， 度函数所对应的随机变 量的数学期望都是零， 方差都是 1.
(1) 求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f X ( x )和 f Y ( y )
的相关系数。 及 X 和 Y 的相关系数。
(2)问 X 和 Y是否独立？为什么？ 问 是否独立？ 是否独立 为什么？
2) 若( X 1 , L , X n )服从 n维正态分布，Y1 , L , Yn 是 维正态分布，
X j ( j = 1, L , n)的线性函数， (Y1 , L , Yn )也服从 的线性函数， 则
正态分布。 正态分布。
3) 若( X 1 , L , X n )服从 n维正态分布，则X 1 , L , X n 维正态分布，
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二 协方差矩阵
1.二维r .v .( X 1 , X 2 )的四个二阶中心矩（设 的四个二阶中心矩（ 存在） 存在） C11 = E ( X 1 EX1 )
2
C12 = E[( X 1 EX1 )( X 2 EX 2 )] C21 = E[( X 2 EX 2 )( X 1 EX1 )] C22 = E ( X 2 EX 2 )
小结： 小结： 1）矩的定义 ） 2）协方差矩阵. ）协方差矩阵 3）n 维正态分布的性质 ） 维正态分布的性质.
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第四章
小
结
阐述了数学期望、方差的概念及背景， 1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算， 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。 期望和方差。 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 给出了契比雪夫不等式， 3 给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式 作简单的概率估计。 作简单的概率估计。 引进了协方差、相关系数的概念， 4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的 性质与计算。 性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价 性。 给出了矩，协方差矩阵， 维正态分布的性质。 6 给出了矩，协方差矩阵， n 维正态分布的性质。
相互独立
X 1 , L , X n 两两不相关。 两两不相关。
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第四章
随机变量的数字特征
§5 矩
例1 (1) 设 X , Y 独立， X ~ N (1,4), Y ~ N ( 2,9), 独立，
2 的分布； 求： X Y 的分布；
( 2) ( X , Y ) ~ N (1,2;4,9;0.5)
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2
C11 C12 称为r.v.(X1 , X2 )的协方差矩阵 ∴ C 21 C 22
2. n维r .v（X 1 , X 2 L X n）的二阶混合中心矩： 的二阶混合中心矩： C i , j = cov( X i , X j ) = E[( X i EX i )( X j EX j )] i , j = 1,2,Ln. 称 C11 L C1n C= M O M C n1 L C nn 为r, v.(X1 ,L Xn )的协方差矩阵 * 协方差矩阵是对称的。 协方差矩阵是对称的。