Cn = λn , 0 ψ ( 0 ) s .
对此系统描述的哈密顿量(3)式，我们可以定义不变量如下
ˆ ( t ) = α ( t ) σ (1) + α ( t ) σ ( 2 ) + α * ( t ) σ (1) + α ∗ ( t ) σ ( 2 ) + β ( t ) σ (1)σ ( 2 ) . I + + − − z z 1 ) + i 1 − cos ( 2 µ ) ( µµ 1 − cos ( 2 ξ ) (ξξ ∗) δ g ( t ) = i − µµ
* ( 2) µ ( 2) ( 2) µ (1) σ − + Eσ z + − + µ µ σ sin 2 2 1 sin ( 2 µ ) + 2 µ − 1 ) ( σ z cos ( 2 µ ) + + µ µ 1 1 (1) (1) (1) (1) − 1 + Bσ − + Bξ ∗ 2 ξ σ z − 1 sin 2 ξ + sin 2 ξ + + Bσ + + Bξ 2 ξ σ z 2ξ 2ξ 1 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) + Dσ + + Dµ 2 µ σ z − 1 + Dσ − + D? ∗ 2 µ σ z − 1 , sin 2 µ + sin 2 µ + 2µ 2µ
摘
要
几何相位是量子力学中的一个重要概念，通过使用Lewis-Riesenfeld不变理论，我们提出了超导磁通量 子比特的可控耦合的几何相位。
关键词
几何相位，超导磁通量子比特的可控耦合
文章引用: 乔元新，于肇贤. 超导磁通量子比特的可控耦合的几何相位[J]. 凝聚态物理学进展, 2017, 6(3): 58-63. DOI: 10.12677/cmp.2017.63008
2. 模型
根据参考文献[33]，超导通量量子位的可控耦合的有效伪螺旋哈密尔顿算子可以写为
(1) ( 2 ) (i ) (i ) ˆ = − ∑ ∆ iσ x + ε iσ z + J (φc ) σ z H σz , i =1,2
(1)
其中 ∆ i 是对应的隧道矩阵元素， ε i 量子比特上的偏差，并且 σ zi 是磁通基中的 Pauli 矩阵，且 φc ≡ 2 πfc 。 我们令
(11)
代入方程(3)和(11)和(5)得到
1 ( t ) − 2 Aα1 ( t ) = 0, α 2 ( t ) − 2α 2 ( t ) C = 0, α1 ( t ) = α1∗ ( t ) , α
∗ ( t ) − 2 E α ( t ) − α = α= α2 ( t ) , iβ 2 (t ) 2 ( t ) 1 0.
(
)
(
)
(
)
(
)
−i
2µ
(2 µ )
3 ( 2) ∗ − µ µ ∗ ) sin ( 2 µ ) − 2 µ σ + + µµ 3 (
∗ − µµ ∗ 2 µ ∗ µµ


(
(2 µ )
3
) sin

σ ( 2) (2 µ ) − 2 µ 3 −
1 1 (1) (1) (1) (1) + Aξ 2 ξ σ z − 1 + Aσ − + Aξ ∗ 2 ξ σ z − 1 sin 2 ξ + sin 2 ξ + + Aσ + 2ξ 2ξ 1 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) + Cσ + + Cµ 2 µ σ z − 1 + Cσ − + Cµ* 2 µ σ z − 1 sin 2 µ + sin 2 µ + 2µ 2µ
(1) ( 2 ) ˆ ≡V ˆ + (t ) I ˆ ( t )V ˆ (t ) = I σz σz , V
(14)
以下关系成立
1 1 − 1 + 2 ξ α1∗ξ ∗ sin 2 ξ + − 1 2 ξ α1ξ sin 2 ξ + 2ξ 2ξ 1 1 ∗ ∗ 1. µ sin 2 µ + × 2 µ α 2 µ sin 2 µ + − 1 + 2 µ α 2 − 1 β cos ( 2 µ ) cos ( 2 ξ ) = 2 2 µ µ
Advances in Condensed Matter Physics 凝聚态物理学进展, 2017, 6(3), 58-63 Published Online August 2017 in Hans. /journal/cmp https:///10.12677/cmp.2017.63008
(17)
DOI: 10.12677/cmp.2017.63008
60
凝聚态物理学进展
乔元新，于肇贤
ˆ ˆ + ( t ) ∂V ( t ) ˆ ( t )V ˆ ( t ) − iV ˆ + (t ) H ˆ (t ) V = H V ∂t ∗ ∗ µµ ∗ − µµ ∗ = i − − + i 1 − cos ( 2 µ ) 1 cos ( 2 ξ ) ξξ ξξ ∗ − ξξ ∗ 2ξ ∗ ξξ 2ξ 3 (1) (1) ∗ ∗ sin ( 2 ξ ) − 2 ξ 3 σ − −i ξξ − ξξ sin ( 2 ξ ) − 2 ξ σ + + 3 3 (2 ξ ) (2 ξ )
Keywords
Geometric Phase, Controllable Coupling of Superconducting Flux Qubits
超导磁通量子比特的可控耦合的几何相位
乔元新，于肇贤
北京信息科技大学理学院，北京
收稿日期：2017年7月12日；录用日期：2017年7月23日；发布日期：2017年7月26日
ˆ (t ) ψ (t ) . =H s
(7)
根据 L-R 不变理论，方程(7)的特定解|λn,t>仅与相位因子 exp [iδn(t)]不同于特征函数|λn,t>
DOI: 10.12677/cmp.2017.63008 59 凝聚态物理学进展
乔元新，于肇贤
λn , t s = exp iδ n ( t ) λn , t ,
乔元新，于肇贤
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
ˆ ( t ) = exp L ˆ V ( t ) ，当满足以下等式时容易发现
(16)
A+ B +
有
− ξξ 2ξ (ξξ βξ ξ + ξ − + sin 2 2 1 ( ) 3 ξ (2 ξ )
*
*
) sin

= 0, (2 ξ ) − 2 ξ 3
A = −ε1 , B = −∆1 , C = −ε 2 , D = −∆ 2 , E = J (φc ) .
(2)
所以(1)式中的哈密顿量可以写成
ˆ = Aσ (1) + Bσ (1) + Cσ ( 2 ) + Dσ ( 2 ) + Eσ (1)σ ( 2 ) . H z x z x z z
其中 σ z and σ x 是 Pauli 矩阵中的元素且 σ +σ 2 (1 + σ z ) ， σ −σ 2 (1 − σ z ) = = − +
Geometric Phase in a Controllable Coupling of Superconducting Flux Qubits
Yuanxin Qiao, Zhaoxian Yu
Department of Physics, Beijing Information Science and Technology University, Beijing Received: Jul. 12th, 2017; accepted: Jul. 23rd, 2017; published: Jul. 26th, 2017
(12) (13)
为了获得与时间无关的不变量，我们可以引入么正算符
(1) (1) ( 2) ( 2) ˆ (t ) = exp ξ ( t ) σ + exp µ ( t ) σ + . V − ξ * (t )σ − − µ ∗ (t )σ −
如果我们让非保利矩阵的第三分量的系数为零，由于有限的空间，这里不再给出这些关系，则出现 时间无关的不变量
i
ˆ (t ) ∂I ∂t
ˆ ˆ 0. + I ( t ) , H ( t ) =
(5)
给出了时间相关不变量 λn , t 的特征值方程
ˆ (t ) λ , t = λ λ , t , I n n n
其中
(6)
∂λn = 0， ∂t
该系统的时间相关的薛定谔方程是
i
∂ ψ (t ) ∂t
s
Abstract