利用正、余弦定理解三角形【例１】B.（１）证明：A＝２B；（２）若△ABC的面积S＝错误!，求角A的大小．[解] （１）证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝２sin A cos B，故２sin A cos B＝sin B＋sin（A＋B）＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B＝sin（A—B）．又A，B∈（0，π），故0<A—B<π，所以B＝π—（A—B）或B＝A—B，因此A＝π（舍去）或A ＝２B，所以A＝２B.（２）由S＝错误!，得错误!ab sin C＝错误!，故有sin B sin C＝错误!sin ２B＝sin B cos B，因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，又B，C∈（0，π），所以C＝错误!±B.当B＋C＝错误!时，A＝错误!；当C—B＝错误!时，A＝错误!.综上，A＝错误!或A＝错误!.解三角形的一般方法１已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.２已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角.３已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.４已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.１．（２0１9·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin错误!＝b sin A.（１）求B；（２）若△ABC为锐角三角形，且c＝１，求△ABC面积的取值范围．[解] （１）由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin错误!＝sin B.由A＋B＋C＝１80°，可得sin错误!＝cos错误!，故cos错误!＝２sin 错误!cos错误!.因为cos错误!≠0，故sin错误!＝错误!，因此B＝60°.（２）由题设及（１）知△ABC的面积S△ABC＝错误!a.由正弦定理得a＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.由（１）知A＋C＝１２0°，所以３0°＜C＜90°，故错误!＜a＜２，从而错误!＜S△ABC＜错误!.因此，△ABC面积的取值范围是错误!.判断三角形的形状【例２】在△思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解] 法一：（正弦定理边化角）由正弦定理，得２sin B＝sin A＋sin C.∵B＝60°，∴A＋C＝１２0°.∴２sin 60°＝sin（１２0°—C）＋sin C.展开整理得错误!sin C＋错误!cos C＝１．∴sin（C＋３0°）＝１．∵0°<C<１２0°，∴C＋３0°＝90°.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：（余弦定理法）由余弦定理，得b２＝a２＋c２—２ac cos B.∵B＝60°，b＝错误!，∴错误!２＝a２＋c２—２ac cos 60°，化简得（a—c）２＝0．∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．根据已知条件通常是含有三角形的边和角的等式或不等式判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.２．在△ABC中，若错误!＝错误!，试判断△ABC的形状．[解] 由已知错误!＝错误!＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!.可有以下两种解法．法一：（利用正弦定理，将边化角）由正弦定理得错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin C cos C＝sin B cos B，即sin ２C＝sin ２B.∵B，C均为△ABC的内角，∴２C＝２B或２C＋２B＝１80°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：（利用余弦定理，将角化边）∵错误!＝错误!，∴由余弦定理得错误!＝错误!，即（a２＋b２—c２）c２＝b２（a２＋c２—b２）．∴a２c２—c４＝a２b２—b４，即a２b２—a２c２＋c４—b４＝0．∴a２（b２—c２）＋（c２—b２）（c２＋b２）＝0，即（b２—c２）（a２—b２—c２）＝0．∴b２＝c２或a２—b２—c２＝0，即b＝c或a２＝b２＋c２.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的实际应用【例３】、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东３0°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西7５°方向上．已知AB＝５km.（１）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（２）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0．１km）（参考数据：错误!≈１．7３，sin 7５°≈0．97，cos 7５°≈0．２6，tan 7５°≈３．7３，sin ５３°≈0．80，cos ５３°≈0．60，tan ５３°≈１．３３，sin ３8°≈0．6２，cos ３8°≈0．79，tan ３8°≈0．78）思路探究：（１）以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.（２）以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．[解] （１）设BD＝x km，则在△ABD中，由余弦定理得５２＝8２＋x２—２×8x cos ３0°，即x２—8错误!x＋３9＝0，解得x＝４错误!±３．因为４错误!＋３>8，应舍去，所以x＝４错误!—３≈３．9，即这条公路的长约为３．9 km.（２）在△ABD中，由正弦定理得错误!＝错误!，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝错误!·sin∠ADB＝错误!＝0．8，所以cos∠CBD＝0．6．在△CBD中，sin∠DCB＝sin（∠CBD＋∠BDC）＝sin（∠CBD＋7５°）＝0．8×0．２6＋0．6×0．97＝0．79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×错误!≈３．9．故景点C与景点D之间的距离约为３．9 km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.３．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方２0 km和５４km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,２0 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是１．５km/s.（１）设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；（２）求静止目标P到海防警戒线a的距离（精确到0．0１km）．[解] （１）由题意得PA—PB＝１．５×8＝１２（km），PC—PB＝１．５×２0＝３0（km）．∴PB＝x—１２，PC＝１8＋x.在△PAB中，AB＝２0 km，cos∠PAB＝错误!＝错误!＝错误!.同理cos∠PAC＝错误!.∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴错误!＝错误!，解得x＝错误!.（２）作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PA cos∠APD＝PA cos∠PAB＝x·错误!＝错误!≈１7．7１（km）．所以静止目标P到海防警戒线a的距离为１7．7１km.与三角形有关的综合问题[探究问题]１．如图所示，向量错误!与错误!的夹角是∠B吗？在△ABC中，两向量错误!·错误!的数量积与余弦定理有怎样的联系？[提示] 向量错误!与错误!的夹角是∠B的补角，大小为１80°—∠B，由于错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos A＝bc cos A.所以错误!·错误!＝bc cos A＝错误!（b２＋c２—a２），有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．２．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？[提示] 用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．【例４】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知错误!·错误!＝２，cos B＝错误!，b＝３．求：（１）a和c的值；（２）cos（B—C）的值．思路探究：（１）由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．（２）由（１）结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解．[解] （１）由错误!·错误!＝２得ca cos B＝２．又cos B＝错误!，所以ac＝6．由余弦定理，得a２＋c２＝b２＋２ac cos B.又b＝３，所以a２＋c２＝9＋２×6×错误!＝１３．解错误!得错误!或错误!因为a＞c，所以a＝３，c＝２．（２）在△ABC中，sin B＝错误!＝错误!＝错误!，由正弦定理，得sin C＝错误!sin B＝错误!×错误!＝错误!.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝错误!＝错误!＝错误!.于是cos（B—C）＝cos B cos C＋sin B sin C＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.１．（变条件，变结论）将本例中的条件“a>c，错误!·错误!＝２，cos B＝错误!，b＝３”变为“已知S△ABC＝３0且cos A＝错误!”求错误!·错误!的值．[解] 在△ABC中，cos A＝错误!，∴A为锐角且sin A＝错误!，∴S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!bc·错误!＝３0．∴bc＝１５6．∴错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos A＝bc cos A＝１５6×错误!＝１４４．２．（变条件，变结论）在“母题探究１”中再加上条件“c—b＝１”能否求a的值？[解] 由余弦定理得a２＝b２＋c２—２bc cos A＝（b—c）２＋２bc（１—cos A）＝１＋２×１５6×错误!＝２５，∴a＝错误!＝５．正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.１解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.２解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.。