【金版学案】-高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5(本部分在学生用书中单独成册) 第1章 解三角形(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝(C )A .1010 B .105 C .31010 D .55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin ∠BAC ⇒sin ∠BAC ＝31010.2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是(C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．(·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝(B )A ．5B . 5C ．2D ．1解析：利用三角形面积公式可求角B ，再利用余弦定理求得B 的对边AC. ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22.∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为(D )A ．3，5B ．4，6C ．6，8D ．5，7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D .5．(·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝(A )A .π6B .π3C .2π3D .5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即 sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin (A ＋C)＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为(D )A ．19B ．－14C ．－18D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B)＝－|AB →|·|BC →|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于(A )A .63 B .62 C .12 D .32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b ＝63. 8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(B )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B ＝52＋82－722×5×8＝12，∴B ＝60°，即最大角、最小角之和为A ＋C ＝180°－B ＝120°.9．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为(C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵A＝60°，∴第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c)2－3bc ＝72－3×11＝16. ∴a ＝4.10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与灯塔P 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B )A ．20(6＋2) n mile /hB ．20(6－2) n mile /hC ．20(6＋3) n mil e /hD ．20(6－3) n mile /h解析：如图由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10sin （60°＋45°）＝406＋2＝10(6－2)．故知速度为20(6－2) nmile /h .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. ∴R ＝c 2sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B co sC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×(a 2＋b 2－2ab cos C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×c2＝sin 2C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：1413．(·山东卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：由向量知识求出|AB →||AC →|的值，代入三角形面积公式求解．已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积 S ＝12|AB→||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.答案：1614．(·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．解析：(1)cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35， ∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc×35＝3.∴bc＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(本小题满分12分)(·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33，又因为B ＝A ＋π2， 所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2，得 cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)．所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin (A ＋B)＝sin A ·cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab .由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(本小题满分14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A ＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352sin 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan2B ＋C2＋sin 2A2的值； (2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan2B ＋C2＋sin 2A2＝sin 2B ＋C2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝1－cos （B ＋C ）1＋cos （B ＋C ）＋12(1－cos A )＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A )＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)因为S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3.将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b 代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。