专题四 立体几何与空间向量
空间线面位置关系的判断(基础型) 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定 定理和性质定理进行判断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中 观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出 与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
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专题四 立体几何与空间向量
[典型例题]
(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝ BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为
()
A．15
B．
5 6
C．
5 5
D．
2 2
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专题四 立体几何与空间向量
【解析】 如图，连接 BD1，交 DB1 于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM，易知 O 为 BD1 的中点，所以 AD1∥OM，则∠MOD 为异面直 线 AD1 与 DB1 所 成 角 ． 因 为 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，
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求空间角的一般步骤 (1)找出或作出有关的平面角． (2)证明它符合定义． (3)归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀： “一作、二证、三计算”．
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[对点训练] 1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互 相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30°.若△SAB 的面积为 8，则 该圆锥的体积为________．
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第 2 讲 空间点、线、面的位置关系
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年份 卷别
考查内容及考题位置
卷Ⅰ 线面角的问题·T10 面面垂直的证明及体积计算·T18 2018 卷Ⅱ 异面直线所成角·T9 线面垂直的证明及点到平面距
离的计算·T19 卷Ⅲ 线面平行、面面垂直的证明·T19
空间直线与平面位置关系的判断·T6 2017 卷Ⅰ
面面垂直的证明、四棱锥体积及侧面积的计算·T18
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题四 立体几何与空间向量
年份 卷别
考查内容及考题位置
卷Ⅱ 线面平行的证明、四棱锥体积的计算·T18 2017 卷Ⅲ 空间中线线垂直的判断·T10
线线垂直的判定、四面体体积的计算·T19 求异面直线所成的角·T11 卷Ⅰ 线线垂直、线面垂直的判定与性质、几何体体积的
AD1 ＝ AD2＋DD21 ＝ 2 ， DM ＝
AD2＋12AB2 ＝
5 2
，
DB1
＝
AB2＋AD2＋DD12＝ 5，所以 OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝ 25，
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于是在△DMO 中，由余弦定理，得 cos∠MOD＝12＋2×251×2－25252 ＝ 55，即异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 55，故选 C． 【答案】 C
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3．设有两条直线 m，n 和三个平面 α，β，γ.给出下面四个命题：
①α∩β＝m，n∥m⇒n∥α，n∥β；
②α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α；
③α∥β，m⊂α⇒m∥β；
④α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：由题意画出图形，如图，设 AC 是底面 圆 O 的直径，连接 SO，则 SO 是圆锥的高．设 圆锥的母线长为 l，则由 SA⊥SB，△SAB 的 面积为 8，得12l2＝8，得 l＝4.在 Rt△ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以 SO＝12l＝2，AO＝ 23l＝2 3. 故该圆锥的体积 V＝13π×AO2×SO＝13π×(2 3)2×2＝8π. 答案：8π
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[考法全练]
1．已知 α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m⊄
α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则 m，n 的位置关系不可能是( )
A．垂直
B．相交
C．异面
D．平行
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解析：选 D．因为 α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个 点，m⊄α，n⊂α， 所以 n 在平面 α 内，m 与平面 α 相交， 因为 A∈m，A∈α， 所以 A 是 m 和平面 α 相交的点， 所以 m 和 n 异面或相交，一定不平行．
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空间几何体中的空间角(综合型)
异面直线所成的角 已知两条异面直线 a、b，经过空间任意一点 O，作 a′∥a， b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
直线与平面所成的角 直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角．当 直线和平面平行时，称直线和平面成 0°角，当直线和平面垂直 时，称直线和平面成 90°角．
2016
计算·T18
卷Ⅱ 线线垂直、空间几何体体积的计算·T19
卷Ⅲ 线面平行、空间几何体体积的计算·T19
专题四 立体几何与空间向量
命题分析 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以 选择、填空题的形式，题目难度较小． 2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体 的表面积、体积相渗透.
解析：选 B．①α∩β＝m，n∥m 不能得出 n∥α，n∥β.因为 n 可能在 α 或 β 内，故①错误；②α⊥β，m⊥β，m⊄α，根据直线 与平面平行的判定，可得 m∥α，故②正确；③α∥β，m⊂α，根 据面面平行的性质定理可得 m∥β，故③正确；④α⊥β，α⊥γ， 则 γ 与 β 可能平行也可能相交，故④错误．
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2．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为 正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正 方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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解析：选 A．对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的 中点，所以 MQ∥CD，所以 AB∥MQ，又 AB ⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平 面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.故选 A．