由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影到DEA运营前沿面， 即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的
• 定理2 DMUj0 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj0为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0。
相对于最优生产效率 水平的目前投入要素 的浪费情况 DEA有效性的定义：
按照最优生产效率水 平所能获得的最大产 出情况
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效： • （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA 有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效 • （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策 单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为 技术效率最佳和规模最佳 • （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不 是技术效率最佳，也不是规模最佳
DEA——一种效率评估方法
目录
DEA方法简介 DEA基本概念
DEA基本模型
DEA应用领域
DEA应用案例
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment
Analysis ）由美国著名运筹学家Charnes、 Coopor和Rhodes于1978年提出的一种评价具有相 同类型投入和产出的若干部门或单位相对有效性 的数量方法。 方法原理主要是通过保持决策单元（DMU, Decision Making Units）的输入或者输出不变， 借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产 前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿 面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程 度来评价它们的相对有效性。
s
Uj各项产出量的 加权综合值
rj
v x
i 1
, j 1,2, , n
Vj各项投入量的 加权综合值
i ij
我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
三、基本模型
因此，评价第r（Є{ 1,2,…,n} ）个决策单元Ur的投
入产出效率，等价于考量Ur在n个决策单元Uj（j ＝ 1,2,…,n ）中是否为最优，为此，可将U,V作为 变矢，将寻求hr的最大值作为目标，由此构成一 个优化模型。另外，为了便于分析处理，总能通 过适当选取U,V的值使hj≤1(j= 1,2,…,n)。 故有hj*=max hj=1
min
max h j 0 T yo wT x j T y j 0, j 1,2, n wT x0 1 w 0, 0
s.t . j x j x0
j 1
n

j 1
n
j
y j y0
j 0, j 1,2, n 无约束
λ=(λ1, λ2, λ3,… λn)为
三、基本模型
定义：
权系数
v1 v2 vi vm 1 2 3 … j 1 x11 x12 x13 … x1j 2 x21 x22 x23 … x2j . . . . . . . . . . . Xij . . . . . . m xm1 xm2 xm3 … xmj y11 y21 . . . ys1 y12 y22 . . . ys2 y13 y23 . . . ys3 … n … x1n … x2n … . … . … . … xmn
各字母定义如下：
Xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.Xij〉0 Yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.Yrj〉0
Xij，Yrj是已知数据，可以根据历史资料、统计数据和预测 计算得到。
Vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 Ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数
二、基本概念
图一：
每营利万元所需2种资源的投入量
二、基本概念
将U1,U2,U3点连接成折线，从U2点做垂直射线
U2M(虚线)，从U1点做水平射线U1N（虚线），则 包络线MU2U3U1N称作运营前沿面，改包络线及 其右上方区域称为运营可行域，该可行域内的点 对应的2种资源投入量能够保障学校运营利润不低 于1万元，而可行域外的点对应的2种资源投入量不 能够保障学校营利不低于1万元。 更一般的，可将这个例题中的一个学校称为一个 决策单元（DMU），则位于包络线（运营前沿面） 上的决策单元称为DEA有效，而位于包络线右上 方的决策单元称为非DEA有效。

二、基本概念
有4所同类培训学校去年的投入产出情况表1所示。
试评价其相对效率。 表1
将表1中前2行的数据除以第3行（利润）数据，得
到各学校每万元利润所需教师、经费两种资源的 投入量，见表2

二、基本概念
表2：
以表2中2项投入指标分别作为横坐标、纵坐标，
建立平面直角坐标系，见图一，图中U1,U2,U3,U4 分别表示这4个学校及其每万元利润所需的2项投 入指标。
（4）DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的
最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应 用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理。（当然
也可以）
PS:
量纲：基本物理单位是基本物理量的度量单位，例如长短、体积、质 量、时间等等之单位。这些单位反映物理现象。物理现象或物理量的 度量，叫做“量纲”。时间的长短（秒、分、时）、质量的大小（g、 kg）、速度的快慢（km/h、m/s）等等，都是量纲，它们反映特定物
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
1 t T , w tv, tu v x0
可变成如下的线性规划模型P：
1 由t t wt x0 1 v x0
max h j 0 T yo
（P）
wT x j T y j 0, j 1,2, n wT x0 1 w 0, 0
DEA有效性的定义：
还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况： （1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则 DMU为规模收益不变 （2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增 （3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若 ∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减
二、基本概念
譬如，例题中U1,U2,U3这3个决策单元为DEA有效，而
决策单元U4为非DEA有效。这意味着，对U1,U2,U3这 三个决策单元来说，每营利万元所需2种资源的投入量 不能同时减少，若减少其中1种资源的投入量，则必须 增加另一种资源的投入量。而若使决策单元U4进化为 DEA有效，则必须降低其营利万元的2种资源耗量。为 此，可将图一中的点U4与原点O(0,0)连成一条线段， 与包络线的交点B(0.88,4.08),即给出决策单元U4进化 为DEA有效的一种改进方案。由于B与U4所耗2种资源 的数量之比为 0.88/1.30=4.08/6.04≈0.68 因此须将U4的2种资源耗量降至68％，方为DEA有效。
Vi, Ur 是可变权系数，需要通过建模计算得到。
i ----------1,2,…,m r ----------1,2,…,s j ----------1,2,…,n
• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
u yi hj T v xj
T
u y
r 1 mn r
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划 求解（D），若 *=1,则决策单元Ur为DEA有效； 若 *<1，则决策单元Ur为非DEA有效。
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行 解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0* 与θ*，则有hj0*＝ θ* 定义1 若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单 元DMUj0为弱DEA有效
1, 1, 2 0
1 t T , w tv, tu v x0
3、求出对偶问题 相应的，[P4]的对偶问题为：
[D4]:
min 30 1 7 2 34 3 30 4 30 58 1 12 2 123 3 139 4 139 19 1 18 2 35 3 23 4 23
n个 决策单元 （DMU）
第j个决策单元对第i种类型 输入的投入总量
第j个决策单元对第r种类型 输出的产出总量
1 2 . . . s u1 u2
m种输入
… y1j … y1n … y2j … y2n . . … . . yrj … . . . … . … ysj … ysn
权系数
ur
us
s种输出
三、基本模型
对应的对偶变矢。
• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和 剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可 变成：
min
n j 1
s.t . j x j s x0
（D）
j y j s y0
j 1
n
j 0, j 1,2, n 无约束，s 0, s 0
总结： （1）本例题中采用的CCR模型解法比开篇的 图解法更为通用、有效。适用于多输出-多输 入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多 输入的有效性评价方面具有绝对优势。 （2）运用DEA有效性进行多目标决策分析， 与寻求多目标规划(MOP)问题的有效解是等价 的。 （3）无须任何权重假设，而以决策单元输入 输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主 观因素，具有很强的客观性。