2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。

(2）定义一种运算“＊"，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1］ .（3）设S k ＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!,则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示）．答案 (1)n 2－n ＋1错误!＋错误!＋错误! (2)2×3n －1（3)S k ＋错误!－错误!探究错误! 用数学归纳法证明等式问题例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!. [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－错误!＝错误!，右边＝错误!，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1）时命题成立，即1－12＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!. 那么当n ＝k ＋1时,左边＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＝右边．故当n＝k＋1时,命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立．拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】用数学归纳法证明：错误!错误!·错误!…错误!＝错误!（n≥2，n∈N*）．证明①当n＝2时，左边＝1－错误!＝错误!,右边＝错误!＝错误!,∴左边＝右边．∴当n＝2时，等式成立．②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，即错误!错误!…错误!＝错误!，那么,当n＝k＋1时，错误!错误!…错误!错误!＝错误!错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!，即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n≥2，n∈N＊都成立．探究错误!用数学归纳法证明不等式问题例2 证明不等式1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<2错误!（n∈N＊）．[证明］①当n＝1时，左边＝1,右边＝2.左边<右边,不等式成立．②假设当n＝k（k∈N＊）时，不等式成立，即1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<2错误!.则当n＝k＋1时，1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!〈2错误!＋错误!＝错误!〈错误!＝错误!＝2错误!。

∴当n＝k＋1时,不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＊都成立．拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)>g(k）,求证f（k ＋1）>g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法（比较法、分析法、综合法）．具体证明过程中要注意以下两点：（1）先凑假设,作等价变换；（2）瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】用数学归纳法证明1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋n(n∈N*)．证明①当n＝1时，1＋错误!≤1＋错误!≤错误!＋1∴错误!≤1＋错误!≤错误!，命题成立．②假设当n＝k（k∈N＊)时命题成立，即1＋错误!≤1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋k，则当n＝k＋1时，1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!≥1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉1＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1＋错误!＋2k·错误!＝1＋错误!。

又1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!＋k＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋k＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋k＋2k·错误!＝错误!＋（k＋1），即n＝k＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n∈N＊都成立．探究错误!用数学归纳法证明整除性问题例3 用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＊。

[证明］证法一:①当n＝1时,42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*）时,42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时,42（k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3(42k＋1＋3k＋2），因为42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，所以42k＋1·13＋3(42k＋1＋3k＋2）能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立，由①②知，当n∈N＊时,42n＋1＋3n＋2能被13整除．证法二:①当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n＝k(k≥1，且k∈N＊)时，即42k＋1＋3k＋2能被13整除,则当n＝k＋1时，［42(k＋1）＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2）＝（42k＋1·42＋3k＋2·3)－(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13＋2（42k＋1＋3k＋2)．因为42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，所以[42（k ＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2）能被13整除，所以42（k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N＊时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时,为了凑出归纳假设,采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N＊。

证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k（k∈N＊)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62（k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35。

∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62（k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1。

数列中的归纳—猜想-证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查,是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手,通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3。

在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误。

1．用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*)，第一步验证（) A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N＊),某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1)当n＝1时，错误!〈1＋1，不等式成立．（2)假设当n＝k(k∈N＊）时，不等式成立,即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，错误!＝错误!<错误!＝错误!＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法（)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D解析从n＝k到n＝k＋1的推理过程中未用到（2)中假设，所以不正确,故选D。

3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋（n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n2n2＋13(n∈N＊）时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案（k＋1）2＋k2解析当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋（k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12。

当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为（k＋1)2＋k2.4．用数学归纳法证明:(n＋1)(n＋2)…(n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1)（n∈N＊)时，从“n＝k到n＝k＋1"时,左边应增乘的代数式为________．答案2（2k＋1)解析当n＝k（k∈N*）时，左边＝（k＋1)(k＋2)…(k＋k），当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)（k＋1＋2)…（k＋1＋k－1）（k ＋1＋k）（k＋1＋k＋1），则左边应增乘的式子是错误!＝2（2k＋1),故答案为2（2k＋1）．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n3＝错误!n2（n＋1）2（n∈N ＊）．证明①当n＝1时，左边＝13＝1，右边＝错误!×12×(1＋1）2＝1,等式成立．②假设当n＝k（k∈N*)时,等式成立，即13＋23＋…＋k3＝错误!k2(k＋1)2,那么当n＝k＋1时，13＋23＋…＋k3＋（k＋1）3＝错误!k2（k＋1）2＋（k＋1)3＝（k＋1）2错误!＝错误!（k＋1）2(k＋2)2＝14(k＋1）2［（k＋1）＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①②可知,等式对任意n∈N*都成立。