bm+n=
.
思路分析 分析等差数列、等比数列的区别→分析原命题特征→得到新命题
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第十四章 推理与证明
解析 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比
等比数列中的 bn am
,等差数列中的 bn-am 可以类比等比数列中的 n-m bn
第十四章 推理与证明
点评 利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条 件经过推理论证推导出正确结论,是顺推法和由因导果法.其逻辑依据是三段论式 的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确.
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第十四章 推理与证明
【辨析比较】
综合法与分析法各有优缺点,分析法思考起来比较简单,易找到解题的 思路和方法,缺点是叙述烦琐;综合法从条件推结论,步骤简单,但不便 于思考.实际应用中,通常将它们结合起来使用,先用分析法探索证明 途径,再用综合法叙述出来.
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第十四章 推理与证明
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解析 观察所给等式的左右可以归纳出
.
1- 1 + 1 - 1 +...+ 1 - 1 = 1 + 1 +... 1
2 34
2n 1 2n n 1 n 2 2n
第十四章 推理与证明
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第十四章 推理与证明
考法示例2 某种平面分形图如图15-1所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为 原来的的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……,依此规律得到n级分形图.
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考情精解读 3
考纲解读
命题规律
命题趋势
第十四章 推理与证明
1.热点预测 合情推理一般以新定义、新规则 的形式考查,题型以选择题、填空题为主,分值 为5分,而演绎推理以及直接证明和间接证明常 以不等式、数列、解析几何、函数等为背景来 考查,题型以解答题为主,分值为12分. 2.趋势分析 预测2018年仍将重点考查归纳、 类比推理,难度可能会提高,对直接、间接证明 的考查会综合到函数、导数、不等式、数列等 方面,渗透到多题之中,尤其要注意不等式的放 缩的应用.
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考点1 合情推理与演绎推理
第十四章 推理与证明
1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 定 出该类事物的全部对象都具有这些特征 义 的推理,或者由个别事实概括出一般结论
的推理
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有
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考法示例1 [2015陕西高考]观察下列等式
1- 1 = 1 22
1- 1 + 1 - 1 = 1 + 1 2 34 3 4
1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1 + 1 + 1 2 34 56 4 5 6
据此规律,第n个等式可为
.
思路分析 观察等式→寻找规律→得结论
解析 (1)由题图知,一级分形图有3=3×2-3(条)线段,二级分形图有9=3×22-3(条)线段,三
级分形图中有21=3×23-3(条)线段,按此规律,n级分形图中的线段条数为an=3×2n3(n∈N*).
(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,∴n级分形图中
第n级的所有线段的长度和为 为
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命题规律
命题趋势
第十四章 推理与证明
考点 2016全国
合情推理与 演绎推理 全国Ⅱ,16,5分 【5%】
2015全国
直接证明与 间接证明 【20%】
全国Ⅰ,22,10 分
2014全国
自主命题区域
全国Ⅰ,14,5分 2016山东,12,5分
2016山东,18,12分 2016浙江,20,15分 2016江苏,16,14分 2014山东,4,5分
(1)n级分形图中共有
条线段;
(2)n级分形图中所有线段长度之和为
.
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第十四章 推理与证明
思路分析 (1)通过观察下一级分形图与上一级分形图之间线段条数的关系,归纳 出n级分形图中的线段条数表达式的规律;(2)先求出n级分形图中第n级的所有线段 的长度,然后再利用等比数列求和公式可求出n级分形图中所有线段长度之和.
n-m
am
,故bm+n= n-m bn. am
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考法3 演绎推理
第十四章 推理与证明
考法指导 数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找 到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段 论的前提.
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考法4 直接证明
第十四章 推理与证明
考法指导 1.综合法证题的思路 (1)分析条件,选择方向.分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公
式等,确定恰当的解题方法. (2)转化条件,组织过程.把已知条件转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语 言之间的转化.
数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.
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第十四章 推理与证明
考法示例3 知命题:若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m≠n,m,n∈N*),则am+n=
现已知等比数列{bn} (b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到
第十四章 推理与证明
【考法示例4】
如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一 步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).
【思路分析】
通过证明四边形AFDE为平行四边形来证明ED=AF.
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(3)适当调整,回顾反思.回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰, 反思总结解题方法的选取.
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第十四章 推理与证明
2.分析法证题的思路 逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转 化方向是使问题顺利获解的关键. 在解决实际问题时,常把分析法和综合法综合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综 合法加以证明,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价 (或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证.
【解析】 同位角相等,两条直线平行,(大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以DF∥EA.(结论) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形.(结论) 平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形的对边,(小前提) 所以ED=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成:
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第十四章 推理与证明
2.演绎推理 演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,它是由一般到 特殊的推理,演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:
“三段论” 的结构
①大前提——已知的条件;②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对 特殊问题作出的判断
这些特征的推理
特 点
由部分到整体,由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一 般 步 骤
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确的
一般性命题(猜想)
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性; (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的
性质,得出一个明确的命题(猜想)
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第十四章 推理与证明
【注意】
(1)反设命题时常用词语的否定详见《高考帮》P015一些常见词语的否定总结. (2)归谬时,常见的矛盾的情况有与已知条件、定义、公理、定理、性质矛盾,与 假设矛盾,与公认的简单事实或显然成立的结论矛盾,自相矛盾等.
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第十四章 推理与证明
【名师提醒】
应用反证法证题时,必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推 理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.
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考法1 归纳推理
第十四章 推理与证明
考法指导 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与等式或不等式相关问题.观察所给的几个等式或不等式的两边式子的特点,注意 从纵向看,发现隐含的规律. (2)与数列相关问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是上述未知的一般现象,该 结论超越了前提所包含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结论. (3)与图形变化相关问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证 其真伪.
“三段论” 的表示