显函数
u t
v t
证略
推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ，
则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为
z u t v t w t
全 导 数 公 式

dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
复合函数微分法与隐函数微分法
注意：本节的知识点容易让人产生混乱
一、复合函数微分法 复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 f (u ) u dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx 要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则
df y df 1 x 2 y 0 du x du x
dz z du z dv dt u dt v dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连 续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有： z z z u z v f1 u1 f 2 v1 x u x v x u v
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z
dz z du z dv dt u dt v dt
(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量
z z u z v f1 u2 f 2 v2 y u y v y x (1)因变量z有两个自变量x,y
(2)在对应法则f下z有两个中间变量u,v
y
x
y
(3)两个中间变量u,v都分别有两个自变量x,y
公式记忆法： 总原则 “联线相乘，分线相加” z z u t v t u v
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v
y sin v e cos v e xy y sin( x y ) e cos( x y )
e
u
z z u z v y u y v y
f u f dv 2 z x 2 f12 2 y 2 x f1 y 1 1 2 x f1 y f11 u y v dy xy


y 例4：设 z f , f (u ) 为可微函数，证明： x z z z x y 0 x y u z df u z df u , x du x y du y x y z z df u df u x y x y x y du x du y
vet u ( sin t ) cos t cos tet et ( sin t ) cos t et cos t sin t cos t
u t
v t
t
小结：使用复合函数求导的链式法则，要 “弄清结构，选对公式”
2 2 z z z 2 2 例3：设z=f(x y，y )，求 , 2 , y x xy 令u=x2y，v=y2
z u v y
z f u f dv x 2 f1 2 yf 2 x y y u y v dy z f u 2 2 z f u , v , u x y , v y 2 xyfu 2 xyf1 1 x u x f1 u 2 z 2 yx 2 y f1 x 2 y f1 xf11 2 x u x
x
y
x
y
(1)几条路线，就是几项的和 (2)对于每一项，路线上有几步，就是几步的乘积 (3)对于每一步，从前向后有分支，说明是多元函数， 前面变量就对后面变量求偏导；没分支，说明是 一元函数，前面变量就对后面变量求导数。
3、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元 函数的情形 z=f 函数 z f ( x, v), v ( x, y) 都具有可微条件时，由公式记忆法有： x v z f v f f v z y v y x v x x x y f1 f 2 1 f 2 2
z (1)因变量z有两个自变量x,y，求 x 时y为常数 f (2)函数z在对应法则f下有两个变量x,v，求 时v为常数 x z f 注意：区别 和 x x
小结：三种多元复合显函数求偏导的方法
例1：设z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求
z z 和 x y
z u x y x v y
eu sin v x eu cos v
eu x sin v cos v exy x sin( x y) cos( x y)
例2：设z=uv+sint，u=et，v=cost，求全导数
dz dt
z
dz z du z dv z dt u dt v dt t