2z ( Fx) ( Fx) z xy y Fz z Fz y
FxyFz FzyFx FxzFz FzzFx ( Fy)
Fz2
Fz2
Fz
FxzFz2 FzyFxFz FxzFyFz FzzFxFy . Fz3
z Fx x Fz
d 2 y FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2
(2 z) x( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x 2
(2 z)2
z
(2 z)2 x2 .
(2 z)3
或方程两边对x求偏导得：2 x
2z
z x
4
z ， x
z x
2
x
z
.
方程两边对y求偏导得：2
y
2z
z y
4
z， y
z y
2
y
z
.
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
dx 2
Fy3 上 页 下 页 返 回
例3、设x2 y2 z2 4z，求 z 、z 及 2z . x y x2
解：令F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z，
则 Fx 2x，Fy 2 y，Fz 2z 4.
z x
Fx Fz
2
x
，z z y
Fy Fz
2
y
z
.
2z x 2
d d
y x
Fx Fy
3x2 3 y2
3ay 3ax
x2 ax
ay y2
d 2 y (2x ay)(ax y2 ) ( x2 ay)(a 2 yy)
dx2
(ax y2 )2
2xy(a3 x3 y3 3axy)
.
(ax y2 )3
或方程两边对x求导得：3x2 3 y2 dy 3a( y x dy )
(隐函数求导公式)
x
将方程F ( x, y) 0两边对x求导得， F
y
x
Fx
Fy
dy dx
0.
由Fy( x0，y0 ) 0得存在某邻域使Fy
0，故
d d
y x
Fx Fy
.
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若F( x, y )的二阶偏导数也都连续,则
d2y d x2
( Fx) x Fy
( Fx) d y y Fy d x
解：令F ( x, y, z) f ( x y z, xyz) z，
1x
则 Fx f1 yzf2，Fy f1 xzf2，
f
y
2z
Fz
f1
xyf
2
1.
z Fx
f1
yzf
2
.
x Fz 1 ( f1 xyf2)
x
Fy
f1
xzf
2
.
y Fx
f1
yzf
2
y z
Fz Fy
1
( f1 xyf2) .
z x
f1
yzf
2
.
1 ( f1 xyf2)
Fx . Fz
同理对y求偏导得：yz
Fy . Fz
0，
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若F( x , y, z ) 的二阶偏导数也都连续,则
2z FxxFz2 2FxzFxFz FzzFx2 .
x 2
Fz3
2z FyyFz2 2Fyz FyFz FzzFy2 .
Fx Fz
x
z
y
x y
y 2
Fz3
z x
f1
(1
z x
)
f
2
[
y(
z
x z )]， x f
z
f1
yzf
2
.
1 2
x y
z
x y
x 1 ( f1 xyf2)
将方程两边同时对y求偏导得( x是y，z的函数)
0
f1
(
x y
1)
f
2
[
z(
y
x y
x)]，
f
x
f1
xzf
2
.
1 2
xy
y
zz
y
f1
yzf
2
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
第七章 多元函数微分法
第六节 隐函数的求导公式
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1：设函数F ( x, y)在点P0( x0 , y0 )的某邻域内满足： (1)具有连续的偏导数；
(2)F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy( x0 , y0 ) 0.
且 d y Fx 公式推导如下：d x Fy
Fx Fy
x y
x
FxxFy FyxFx FxyFy FyyFx ( Fx)
Fy2
Fy2
Fy
FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2 Fy3
Fx
x y
x
或
d 2 y dx 2
(FFxxxxFyFFy2xFy ddxxyF)xFyyF的(y求2F通x二(常F阶yx方导法F数yy)ddFxyy)
dy x2 ay
dx
dx
.
dx ax y2
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例2、已知 ln x2 y2 arctan y，求 dy .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x dx
解：令F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
x
则 Fx
1 2
2x x2 y2
1 1 ( y)2
(
y )
x2
x x2
y y2
,
x
Fy
1 2
f1
xzf
2
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例4、设z f ( x y z, xyz)，求 z，x，y . x y z
z x
f1
yzf
2
.
1 ( f1 xyf2)
x y
f1 f1
xzf
2
.
yzf
2
y z
1 ( f1 xyf2) .
f1
xzf
2
另解：将方程两边同时 对x求偏导得( z是x，y的函数 )
FxxFy2 2FxyFxFy FyyFx2 .
x x
y
d y Fx d x Fy
Fy3
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例1、设方程x3 y3 3axy确定y f ( x)，求 dy 及 d 2 y . dx dx2
解：令F ( x, y) x3 y3 3axy，
则 Fx 3x2 3ay，Fy 3 y2 3ax.
(2)F ( x0 , y0 , z0 ) 0; (3)Fz( x0 , y0 , z0 ) 0.
且 z 公式推导如下： x
Fx， z Fz y
Fy . Fz
F
x
z
y
x y
将方程F ( x, y, z) 0两边对x求偏导得，
Fx
Fz
z x
z
x
0，由Fz( x0 , y0 , z0 ) 0得存在某邻域使Fz
2y x2 y2
1 1 ( y)2
1 x
y x2
x， y2
x dy Fx x y x y .
dx Fy y x x y
或方程两边对x求导得：1
dy x y .
2
dx x y
2x 2 yy x2 y2
1 1 ( y)2
x
yx x2
y，
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定理2：设F ( x, y, z)在点( x0 , y0 , z0 )的某邻域内满足： (1)具有连续的偏导数；